Question

Siła sprężystości prowadzi do powstania ruchu harmonicznego - wykazać.

wzory, wyjaśnienia, wykrsy

Answer 1

Jeśli rozpatrzymy sobie układ, którego model fizyczny przedstawiony jest na rysunku to wówczas:
Masa posiada jakieś położenie x
Jeśli x=x0=0 to siła sprężystości jest 0 (bo x0 to położenie równowagi sprężyny), zatem względem tego położenia będziemy rozpatrywać położenie masy. Wychylając masę do położenia x na masę działa siła sprężystości wektorowo równa Fs=-kx (skierowana do położenia równowagi). Jednoczenie na masę działa siła bezwładności działa siła Fb=-ma. Siły te równoważą się, czyli ich suma jest zerowa:
Fs+Fb=0
-kx-ma=0
kx+ma=0
ponieważ a to druga pochodna po czasie z położenia x czyli:

Dwie kropki na x oznacza drugą pochodną po czasie. Zatem:


Jeśli podstawimy zamiast x:

gdzie:
A - amplituda drgań
i - jednostka urojona 
t - czas
ω - częstość kołowa drgań
To wówczas licząc pierwszą i drugą pochodną:


Wstawiając x oraz a równania różniczkowego ruchu otrzymujemy:

Ostatni wzór to wzór na częstość kołową drgań.
Wracając do podstawienia x:

Część urojona znika, zamiast niej pojawia się przesunięcie fazowe. Czyli otrzymaliśmy wzór na ruch harmoniczny.