Question

W trójkącie ABC dane są długości boków |AB|=2 cm, |AC|= 3 cm, |BC|= 4 cm,
a.) Oblicz długość środkowej trójkąta poprowadzonej na bok AB.
b.) Oblicz promień koła opisanego na trójkącie ABC.

Answer 1

A)
D - środek AB -> AD=BD = 1
niech kąt CAB = α, zatem z tw. cosinusów dla trójkąta ABC:
AB^2 + AC^2 - 2*AB*AC*cosα = BC^2
9 + 4 - 12cosα = 16
cosα = -1/4
z tw. cosinusów dla trójkąta ADC :
AD^2 + AC^2 - 2AD*AC*cosα=CD^2
1 + 9 - 6*(-1/4) = CD^2
CD^2 = 23/2
CD = √(23/2) -> to jest nasza szukana środkowa

b)
wiemy że cosα = -1/4 -> sin^2α = 1-cos^2α
sin^2α = 1 - 1/16 = 15/16
sinα = √15 / 4
z tw. sinusów:  BC/sinα = 2R
2R = 4/ √15/4 = 16/√15 -> R = 8/√15 = 8√15 / 15