Question

W trojkacie ABC narysowano wysokosc z wirzcholka C dlugosci 5cm. Dzieli ona bok Ab na dwa odcinki tak , ze |AD|=4cm, |DB|=8cm. W trojkacie tym poprowadzona prosta EF rownolegla do CD, ktora podzielila trojkat ABC na dwie figury o rownych polach i taka, ze punk E Nalezy do boku BC, a punkt F nalezy do boku AB. Oblicz dlugosc odcinka lezacego na tej prostej, zawartego w tym trojkacie.

Answer 1

Mamy trójkąt ABC i wysokość H = 5cm. Wiemy, że wysokość dzieli podstawę na odcinki długości 4 i 8cm. 

Wiemy również że prosta EF dzieli tak trójkąt, że powstałe figury są sobie równe. 

 

Zadanie wydaje się trudne, ale dobrze spojrzenie na nie ułatwia nam rozwiązanie :)

 

Skoro pola są sobie równe, to pierw policzmy pole całego trójkąta

P1 = 1/2h * a

P1 = 2,5 * 12 = 30cm^2

 

Tak więc teraz wiemy, że powstałe figury muszą mieć po 15cm^2.

Policzmy teraz pole mniejszego trójkąta który powstał przez narysowanie wysokości

P2 = 2,5 * 4 = 10cm^2

 

Teraz wiemy, że aby pola były sobie równe to prosta EF musi podzielić nam większy trójkąt na figury z których jedna będzie miała 5cm^2.

Prosta EF dzieli trójkąt tak, że wraz z wysokością tworzy trapez i trójkąt

 

Musimy napisać teraz układ:

1/2 * x * y = 15
1/2(8-y) * (5+x) = 5

więc
xy = 30
(8-y)(5+x) = 10

 

y=30/x

40 + 8x - 5y -xy = 10

 

y=30/x

40 + 8x - 5*30/x -x*30/x = 10

 

y=30/x

40 + 8x - 150/x -30 = 10

 

y=30/x

40x + 8x^2 - 150 -40x = 0

 

y=30/x

8x^2 - 150 = 0

 

y=30/x

4x^2 - 75 = 0

 

y=30/x

4x^2 = 75

Tutaj można wykorzystać wzór skróconego mnożenia, jednak z założenia 0<x<5  więc od razu pozbywamy sie jednego ujemnego rozwiązania

 

y=30/x

x = 4,3301270

 

y=30/4,3301270

x = 4,3301270

 

y=6,92820326

x = 4,3301270

 

SPRAWDZENIE:

Ptrapezu = 1/2 * (8 - 6,92820326) * (4,3301270 + 5)

Ptrapezu =  1/2 * 1,07179674 * (4,3301270 + 5)  = 5

 

Długość odcinka EF wynoci ok. 4,33cm

Mam nadzieję, że pomogłem :) Pozdrawiam!

Answer 2

Liczymy pole całego trójkąta:

P1=1/2h*a

P1=2,5*12=30cm^2

 

Liczymy pole mniejszego trójkąta:

P2=2,5*4=10cm^2

 

Tworzymy układ równań, gdzie:

x = |EF|
y = |FB|

 

1/2*x*y=15
1/2(8-y)*(5+x)=5

xy=30
(8-y)(5+x)=10

 

y=30/x

40+8x-5y-xy=10

 

Zajmujemy się 2 równaniem:

 

40+8x-5*30/x-x*30/x=10

40+8x-150/x-30=10

40x+8x^2-150-40x=0

8x^2-150=0

4x^2-75=0

4x^2=75

x=4,33012

 

y=30/4,33012

 

y=6,92820

x = 4,33012

 

Odp. Długość odcinka EF wynosi w przybliżeniu 4,33cm

Mam nadzieję, że pomogłem :)