Question

W trapezie prostokątnym dłuższa przekątna zawiera się w dwusieczną kąta ostrego trapezu oraz tworzy z krótszym ramieniem kąt 60 stopni. oblicz pole i obwód tego trapezu jeżeli krótsza podstawa wynosi 6 cm.

Answer 1

Dłuższa przekątna tworzy kąt 60⁰ z krótszym ramieniem,
czyli wysokością trapezu h, więc kąt ostry między dłuższą przekątną a podstawą dolną (dłuższą a) wynosi 30⁰.
Dłuższa przekątna zawiera się w dwusiecznej kąta ostrego trapezu, więc kąt ostry trapezu ma 2*30⁰ = 60⁰
Kąt między dłuższą przekątną trapezu a podstawą
górną (krótszą b = 6cm) ma 90⁰ - 60⁰ = 30⁰
Trójkąt o bokach:
dłuższa przekątna trapezu, dłuższe ramię r, krótsza podstawa b
ma dwa kąty przy podstawie (dłuższa przekątna trapezu)
po 30⁰, więc jest to trójkąt równoramienny.
Stąd dłuższe ramię r = b = 6cm(równe krótszej podstawie),
Z proporcji trygonometrycznych obliczymy wysokość h:
(w trójkącie o bokach:
wysokość h poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego,
dłuższe ramię r = 6cm i odcinek x, leżący na podstawie dolnej
oraz kącie ostrym trapezu 60⁰)
sin 60⁰ = h/r
h = r* sin 60⁰ = 6cm *√3/2 = 3√3 cm
obliczamy długość odcinka x
cos 60⁰ = x/r
x = r* cos 60⁰ = 6cm *1/2 = 3 cm
Dłuższa (dolna) podstawa a = b + x = 6cm + 3cm = 9cm
Obliczamy obwód i pole powierzchni trapezu:
Obwód L= a + r + b + h =
9 cm + 6 cm + 6 cm + 3√3 cm = 21 cm + 3√3 cm = 3(7 + √3)cm
Pole P = ½(a + b)h = ½(9 cm + 6 cm)*3√3 cm= 22½ √3cm²
Odp. Pole powierzchni trapezu wynosi 22½ √3cm²,
a obwód 3(7 + √3)cm.