Question

W trapezie ABCD wpisano okrąg o promieniu długości 12cm. Ramię BC trapezu ma długość 25cm. Jakie długości mają odcinki wyznaczone na ramieniu BC przez punkt styczności S ?

prosiłbym o szybkie rozwiązanie z góry dziekuję ! I fajnie byłoby jakby jeszcze ktoś rysunek zrobił ! pozdrawiam !

Answer 1

Rysunku nie zrobie, bo jest zaskomplikowany na moje zdolnosci iformatyczne;)
r=12
|BC|=25
Oznaczmy srodek okegu jako O.
Mozemy zauwazyc, ze SO jest wysokoscia ΔBOC.

Teraz jest wazny trik:
Srodek okregu wpisanego w czworokat jest punktem przeciecia dwusiecznych katow. W trapezie katy przy jednym ramieniu sumuja sie do 180°.
Czyli, jesli |∢OBC|=α i |∢BCO|=β, to
α+β=180°
Dwusieczne dziela katy na polowe, czyli
(α+β)/2=90°
A z tego wynika, ze |∢BOC|=90° *(bo 180-90=90)
Czyli wysokosc SO jest wyskoscia opuszczona na przeciwprostokatna.
Oznaczmy odcinki |CO|=x i |OB|=y
z tw o wysokosci opuszczonej na przeciwprostoaktna mamy:
r²=xy
xy=144
x+y=25 ( bo x+y to ramie)
y=25-x
x(25-x)=144
-x²+25x-144=0
x²-25+144=0
Δ=625-576=49=7²

x1=(25+7)/2 x2=(25-7)/2
x1=16 x2=9
y1=9 y2=16
Czyli otrzymane rozwiazania sa takie same.

Odp. Odcinki maja dl. 16cm i 9cm.