Question

W trapezie ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 48. Odcinek łączący
środki E, F przekątnych ma długość 4. Oblicz długość krótszej podstawy.

Answer 1

Odpowiedź:

            |CD| = 40

Szczegółowe wyjaśnienie:

Dane:  |AB| = 48

           |EF| = 4

           |AE| = |EC|   i  |BE| = |ED|

P  - punkt przecięcia przekątnych

Odcinek łączący środki przekątnych trapezu jest równoległy do podstaw trapezu, czyli na mocy twierdzenia o dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą, kąty odpowiadające i naprzemianległe  utworzone przez te proste mają takie same miary.

Stąd:

|∡BAP| = |∡FEP| ∧ |∡APB| = |∡EPF| ∧ |∡ABP| = |∡EFP| ⇒ ΔABP~ΔEFP

|∡DCP| = |∡FEP| ∧ |∡CPD| = |∡EPF| ∧ |∡DCP| = |∡EFP| ⇒ ΔCDP~ΔEFP

Czyli możemy skorzystać z własności trójkątów podobnych.

Żeby przekształcenia były przejrzystsze, wprowadzam dodatkowe oznaczenia:

|AE| = |EC| = x

|EP| = y

Zatem:

oraz: