Question

w stożek w którym tworząca odległości l-10 cm jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o miarze 45stopni wpisano kulę i opisano na nim kulę. oblicz stosunek objętości kuli opisanej na stożku do objętości kuli wpisanej w stożek.

Answer 1

l = 10 cm

alfa = 45 stopni

zatem przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym prostokątnym.

Mamy h = r

h - wysokość stożka

r - promień podstawy stożka

Obliczamy długość promienia kuli wpisanej w ten stożek.

Mamy

h^2 + r^2 = l^2

2 h^2 = 10^2 = 100

h^2 = 50 = 25*2

h = 5 p(2)

oraz  r = 5 p(2)

Obwód trójkąta ( przekroju stożka )

L = 2r + 2l  = 2*5 p(2) + 2*10 = 10 p(2) + 20

p - połowa obwodu

p = 5 p(2) + 10

===============

P - pole przekroju

P = (1/2)*2r *h = r*h = 5 p(2) * 5 p(2) = 25*2 = 50

P = 50

======

r1 - długośc promienia kuli wpisanej

r1 = P / p = 50/[5 p(2) + 10) = 10/[ p(2) + 2] =

= [ 10*(p(2) -2] /[ ( p(2) +2)*( p(2) - 2)] = [ 10 p(2) - 20]/[ 2 - 4] =

= [20 - 10 p(2)]/2 = 10 - 5 p(2)

r1 = 10 - 5 p(2)

=============

Obliczamy długośc promienia kuli opisanej na stożku

Korzystamy z wzoru

P = [a*b*c]/ [4 R]

czyli

R = [a*b*c]/[ 4 P ]

a = 2r = 2* 5 p(2) = 10 p(2)

b = c = l = 10

zatem a*b*c = 10 p(2)*10*10 = 1000 p(2)

oraz

R = [ 1000 p(2)]/[4*50] = 5 p(2)

R = 5 p(2)

========

Każde dwie kule są podobne

k - stosunek podobieństwa kuli opisanej do kuli wpisanej w stożek

k = R/ r1 = [ 5 p(2)]/[ 10 - 5 p(2)] = p(2)/[2 - p(2)] =

= [ p(2)*(2 + p(2)]/ [( 2 - p(2))*( 2 + p(2))] = [2 p(2) + 2]/[ 4 -2] =

= p(2) + 1

==========

Stosunek objętości kul podobnych jest równy sześcianowi ich skali

podobieństwa

Vo / Vw = k^3 = [ p(2) + 1]^3 = 7 + 5 p(2)

Odp. 7 + 5 p(2)

================

p(2) <-- pierwiastek kwadratowy z 2