Question

W stożek o promieniu długości r i wysokości długości H wpisano walec o promieniu dwukrotnie mniejszym od promienia podstawy stożka. Wyznacz stosunek objętości stożka do objętości walca.

Answer 1

Narysuj trójkąt równoramienny ABC o podstawie |AB|=2r i wysokości |CD|=H.

Na podstawie AB zaznacz punkty K- środek odcinka AD i L- środek odcinka DB.

Poprowadź odcinki KN i LM prostopadłe do AB, gdzie N należy do AC i M należy do BC.

Otrzymasz prostokąt KLMN wpisany w trójkąt ABC. To przekrój osiowy walca wpisanego w stożek- bryły opisane w zadaniu.

 

Trójkąt NMC jest podobny do trójkąta ABC. Ponieważ |NM| jest połową odcinka AB, to i wysokość trójkąta NMC jest połową wysokości trójkąta ABC.

 

Stąd- masz walec o promieniu podstawy i wysokości

 

Objętość stożka:

 

Objętość walca: