Question

W stożek którego przekrojem osiowym jest trójkąt równoboczny, wpisano walec o największej objętości. Wyznacz stosunek wysokości walca do promienia podstawy
stożka.

Answer 1

Oznaczenia:  (z rysunku podręcznego)
IABI=a
IDGI=h
ICHI=a√3/2
IDEI=x
ICII=(a√3/2)-h
 trójkąty ACH i CDI są podobne czyli
CH/AH=CI/DI
(a√3/2):(a/2)=(a√3/2-h):(x/2)
√3=(a√3-2h)/2]*2/x
x√3=a√3-2h
2h=√3(a-x)
h=(√3/2)*(a-x) , h>0⇔a-x>0⇔a>x>0
V-objętość walca
V=π(x/2)²*h
Podstawiamy za h
V(x)=π(x²/4)*(√3/2)*(a-x)
V(x)=π(√3/8)*[ax²-x³]
V`(x)=π(√3/8)[2ax-3x²]
V`(x)=π(√3/8)*x(2a-3x)
V`(x)=0⇔x=0  ∨  x=2a/3
V`(x)>0 dla x∈(0,2a/3)
V`(x)<0 dla x∈(2a/3,a)
Dla x=2a/3 funkcja osiąga maksimum  czyli objętość walca jest największa dla x=2a/3 i h=(a-2a/3)√3/2 czyli h=a√3/6

Obliczam h/(a/2)=(a√3/6)*(2/a)=2√3/6=√3/3