Question

W równoległoboku ABCD punkt M jest środkiem boku AB, a punkt E leży na odcinku AD i |AE| : |ED| = 1:3. Odcinku BE i CM przecinają się w punkcie O. Wyznacz stosunek pola trójkąta BOM do pola trójkąta BOC.
Odpowiedź to 1:8.

Answer 1

Odpowiedź:

Stosunek pola trójkąta BOM do pola trójkąta BOC jest równy 1:8

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]AM'\parallel MC\\\\DE'\parallel EB[/tex]

[tex]\Delta DE'C \equiv \Delta ABE\\\\|DC|=|EB|\\\\|\angle DCE'=|\angle BAE|\\\\|\angle E'DC|=|\angle ABE|\\(cecha \ kbk)[/tex]

1. Wyznaczam |FC|

(z podobieństwa trójkątów DO'M' i DE'C)

[tex]\frac{|DM'|}{|M'O'|}=\frac{|DC|}{|FC|}\\\\\frac{\frac{a}{2}}{y}=\frac{a}{|FC|}\\\\|FC|=\frac{ay}{\frac{a}{2}}\\\\|FC|=2y[/tex]

Twierdzenie Talesa

Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.

2.Wyznaczam |OF|

[tex]\frac{|OF|}{|BE'|}=\frac{|FC|}{|E'C|}\\\\\frac{|OF|}{3x}=\frac{2y}{x}\\\\|OF|x=3x\cdot2y\\\\|OF|x=6xy\ \ \ |:x\\\\|OF|=6y[/tex]

3. Obliczam stosunek pól trójkątów

[tex]\frac{P_{BOM}}{P_{BOC}}=\frac{\frac{|MO|\cdot h}{2}}{\frac{|OC|h}{2}}\\\\\frac{P_{BOM}}{P_{BOC}}=\frac{|MO|}{|OC|}\\\\\frac{P_{BOM}}{P_{BOC}}=\frac{y}{|OF|+|FC|}\\\\\frac{P_{BOM}}{P_{BOC}}=\frac{y}{6y+2y}\\\\\frac{P_{BOM}}{P_{BOC}}=\frac{y}{8y}\\\\\frac{P_{BOM}}{P_{BOC}}=\frac{1}{8}\\\\\frac{P_{BOM}}{P_{BOC}}=1:8[/tex]