Question

W rombie jedną przekątną skrócono o p%, a drugą wydłużono o p% tak, że pole rombu zmniejszyło się o 4%. Oblicz p.

Answer 1

Pierwsza przekątna rombu x

Druga przekątna rombu y

Pole rombu  wynosi P₁= ½ *xy {połowa iloczynu przekątnych}

 

Przekątna x po skróceniu o p%

x- p%x= x(1-p%)= x(1- p/100)

Przekątna y po wydłużeniu o p%

y+ p%y= y(1+p%)= y(1+ p/100)

Nowe pole rombu jest równe

P₂= ½* x(1- p/100)* y(1+ p/100)

i pole P₂ jest o 4% mniejsze od poprzedniego pola P₁,

czyli P₂= 96%*P₁= 96%*½ *xy= 0,96*½ *xy

 

Układamy równanie:

 

½* x(1- p/100)* y(1+ p/100) = 0,96*½ *xy

i rozwiązujemy:

x(1- p/100)* y(1+ p/100) = 0,96*xy  {obie strony mnożymy przez 2}

(1- p/100)*(1+ p/100) = 0,96  {obie strony dzielimy przez xy}

1 –(p/100)² = 0,96 {korzystamy z wzoru skróconego mnożenia (a-b)*(a+b)= a²-b²}

(p/100)² = 1- 0,96  {przenosimy na odpowiednie strony}

(p/100)² = 0,04  {wykonujemy odejmowanie}

p²/10000 = 0,04  {podnosimy do potęgi}

p²= 0,04*10000 {obie strony mnożymy przez 10000}

p²= 400

p= 20 {obliczamy pierwiastek}

 

Sprawdzenie

P₁= ½*xy

i P₂= P₁- 4%P₁= 96%P₁= 0,96*½*xy= ½*0,96xy

oraz

P₂= ½*x(1- ²⁰/₁₀₀)* y(1+ ²⁰/₁₀₀)= ½*x*(⁸⁰/₁₀₀)* y*(¹²⁰/₁₀₀) =

½*0,8x*1,2y= ½*0,96xy

Odp. Procent, o który skrócono i wydłużono przekątne rombu: p= 20%