Question

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna o długości 10cm jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 o. Oblicz pole powierzchni i objętość bryły

Answer 1

b=10cm

kraw,podstawy=a

wysokosc sciany bocznej=h

wysokosc podstawy=hp

wysokosc ostroslupa=H

Pc=?V=?

α=60°

 

2/3hp=2/3·(a√3)/2 =(a√3)/3

cos60=(a√3/3) /b

1/2 =(a√3/3)/10

10=2(a√3)/3

10=(2a√3)/3

2a√3=10·3

2a√3=30   /:2

a√3=15

a=15/√3=(15√3)/3=5√3 cm --->krawedz podstawy

 

Pp=(a²√3)/4=[(5√3)²·√3 ]/4 =(75√3)/4  cm²

 

sin60=H/b

√3/2=H/10

2H=10√3 cm   /:2

H=5√3 cm

Objetosc bryly

V=1/3 ·Pp·H=1/3 ·(75√3)/4  ·5√3=(375√9)/12 =(375/4=93¾cm³

z pitagorasa

(1/2a)²+h²=b²

(5√3/2)²+h²=10²

75/4+h²=100

h²=100-18¾

h=√(81¼)=√(325/4)=(5√13)/2 

Pb=3·½ah=3·½·5√3 ·(5√13)/2 =(75√39)/4 cm²

 

Pole calkowite bryly

Pc=Pp+Pb=(75√3)/4  +(75√39)/4 =75(√3+√39)/4

 

 

 

 

 

 

Answer 2

a=dł. krawedzi podstawy

c=dł. krawedzi bocznej

c=10cn

H=wysokosc bryły

sin60⁰=H/c

√3/2=H/10

H=5√3cm

h=wysokosc podstawy

⅔h=x

cos60⁰=x/c

½=x/10

x=5cm

⅔h=5

h=5;⅔=7,5

h=a√3/2=7,5

a√3=15

a=15√3/3=5√3cm

Pp=a²√3/4=(5√3)²√3/4=18,75√3

v=⅓×18,75√3×5√3=93,75cm³

k=wysokosc sciany bocznej

½a=2,5√3

k=√[10²-(2,5√3)²]=√[100-18,75]=√81,25=2,5√3

Pb=3×½ak=1,5×5√3×2,5√3=56,25

Pc=18,75√3+56,25=18,75(√3+3)cm²