Question

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa, są do siebie prostopadłe.

a)oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy

b)jakim procentem objętości sześcianu , którego krawędź ma długość równą długości krawędzi podstawy danego ostrosłupa jest objętość tego ostrosłupa?

Answer 1

Ostrosłup prawidłowy czworokątny - podstawa kwadrat, ściany boczne - trójkąty równoramienne.

OZNACZENIA:

hś - wysokość ściany 

H - wysokość ostrosłupa (wysokość jest równa połowie długości podstawy: H=a/2)

a - krawędż podstawy (ostrosłupa i sześcianu)

k - krawędź boczna

α=90°

β=45°

γ - kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy

--------------------

1. Wysokość ściany bocznej:

Wysokości przeciwległych ścian bocznych tworzą kąt α=90°, wysokość ostrosłupa jest zarazem dwusieczną tego kąta - dzieli go na dwa kąty o mierze β=45°. Wysokość ostrosłupa wraz z wysokośćią ściany bocznej oraz z połową długośći krawędzi podstawy tworzy trójkąt postokątny. Co więcej jest to trójką 45°, 45°, 90° (- czyli połowa kwadratu (rys. 1).

sinβ=H/hś

sin45°=√2/2

√2/2=(a/2)/hś

√2/2=a/2hś

hś√2=a

hś=a√2/2

---------------------

2. Długość krawędzi bocznej:

Wysokość ściany bocznej i połowa długośći podstawy wraz z krawędzią ściany bocznej tworzą trójkąt prostokątny, w którym odpowiednio dwie pierwsze wymienione długości to przyprostokątne, a ostatnia - przeciwprostokątna (rys. 2). Z twierdzenia Pitagorasa:

k²=hś²+(a/2)²

k²=(a√2/2)²+(a/2)²

k²=2a²/4+a²/2

k²=3a²/4

k=a√3/2

-----------------------

3. Sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy:

Krawędź boczna (przeciwprostokątna), połowa długości przekątnej podstawy i wysokość ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny (rys. 3), w którym:

sinγ=H/k

sinγ=(a/2)/(a√3/2)

sinγ=a/2 * 2/a√3

sinγ=1/√3

sinγ=√3/3

------------------------

4. Objętość ostrosłupa:

V=a²*h/3

V=a²*(a/2)/3

V=a³/6

-------------------------

5. Objętość sześcianu:

V=a³

-------------------------

6. Odp. na podpunkt b:

100% - a³

  x    - a³/6

6x=100%

x=16,(6)%