Question

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość 6, zaś pole powierzchni bocznej jest 8 razy większe od pola podstawy. Oblicz: a. objętość ostrosłupa, b. cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy oraz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. 2. Objętość stożka równa jest 3√3π a tworząca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α= 30 stopni: a. Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka b. Wykaż, że stosunek objętość do pola powierzchni całkowitej stożka wynosi 2-√3

Answer 1

1

obliczam krawędź podstawy ze wzoru na przekątna kwadratu

d=aV2

6=aV2

a=3V2cm

pole podstawy

Pp=a^2=(3V2)^2

Pp=18cm2

obliczam wysokość ściany

Pb=8*Pp=8*18

Pb=144cm2

Pś=Pb/4=144/4=36cm2

Pś=1/2*a*hś

36=1/2*3V2*hś

hś=12V2cm

obliczam wysokość bryły z pitagorasa

(1/2a)^2+h^2=hś^2

(3/2V2)^2+h^2=(12V2)^2

h^2=V(567/2)

h=9/2V14

obliczam objętość

V=1/3*Pp*h=1/3*18*9/2V14=27V14 cm3

obliczam cos

cosalfa=(1/2a)/hś=(3/2V2)/12V12

cos alfa=1/8

2

objętość

V=1/3*Pp*h

3V3π=1/3*π r^2 *h

9V3=r^2*h

tg30=h/r

V3/3=h/r

h=V3/3*r

h podstawiamy do 9V3=r^2*h

9V3=r^2*V3/3*r

r^3=27

r=3cm

r podstawiamy do h=V3/3*r

h=V3cm

z pitagorasa obliczamy tworzącą

r^2+h^2=l^2

9+3=l^2

l=2V3cm

obliczamy pole całkowite

P=Pp+Pb=πr^2+πrl=π3^2+π3*2V3

P=9π+6V3π=3π(3+2V3)

stosunek objetości do pola

              3V3π            V3            V3(3-2V3)           3V3-6     -3(2-V3)

V/P=---------------- = ---------- = ------------------ = -------- = ---------- = 2-V3

          3π(3+2V3)       3+2V3      (3+2V3)(3-2V3)      9-4*3        -3

 

Pozdrawiam i liczę na naj... :-))