Question

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole jednej ściany bocznej jest trzy razy mniejsze niż pole jego podstawy. Oblicz objętość ostrosłupa, wiedząc, że długość krawędzi podstawy jest równa 14 cm. Oblicz sinus kąta alfa między sąsiednimi krawędziami bocznymi tego ostrosłupa.

Answer 1

kraw,podstawy a=14cm
pole 1 sciany bocznej =Pb1
wiadomo ze: Pb=1/3Pp

Pp=a²=14²=196cm²
czyli Pb1=1/3·196=196/3 cm²
Pb1=½ah
196/3=½·14·h
196/3=7h   /·3
196=21h
h=196/21=28/3cm --->wysokosc sciany bocznej

z pitagorasa
(1/2a)²+H²=h²
7²+H²=(28/3)²
49+H²=784/9
H²=87¹/₉-49
H=√(38¹/₉)=√(343/9)=(7√7)/3 cm--->dl,wysokosci ostroslupa
objetosc bryly
:V=1/3Pp·H=1/3·14²·(7√7)/3=(196·7√7)/9=(1372√7)/9= cm³

sinα kąta miedzy sasiednimi krawedziami bocznymi to kat plaski sciany bocznej ( kazda sciana boczna jest Δ rownoramiennym o podstawie a=14 i ramieniu rownym krawedzi bocznej ostroslupa. kat miedzy ramionami tego Δ , to nasz szukany kat α)

czyli liczymy kraw,boczna =b  ostroslupa
przekatna podstawy d=a√2 =14√2 to ½d=7√2 cm
(7√2)²+H²=b²
98+((7√7/3)²=b²
98+343/9=b²
98+38¹/₉=b²
b=√(136¹/₉)=√(1225/9)=35/3

czyli ½sinα=½a/b=7/(35/3)=7·3/35=21/35=3/5=0,6 to  ½α=37°
zatem sinα=2·37=74°