Question

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości 5⅓ cm³ wysokość jest 2 razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz pole powierzchni tego ostrosłupa.

Answer 1

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości 5 i 1/3 cm3 wysokość jest 2 razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz pole powierzchni tego ostrosłupa.

V = 5 i 1/3 cm³= 16/3 cm³
a - krawędź podstawy ( kwadratu)
H = 2*a - wysokość ostrosłupa
hś - wysokość ściany bocznej

Pc = ? - pole powierzchni całkowitej ostrosłupa

1. Obliczam krawędź a podstawy
V = 1/3*Pp *H
V = 16/3 cm²

1/3*Pp *H = 16/3 cm² /*3
Pp*H = 16
a²* 2a = 16
2a³ =16 /:2
a³ = 16 :2
a³ = 8 cm³
a = ∛(8 cm³)
a = 2 cm

3. Obliczam wysokość H ostrosłupa

H = 2*a
H = 2*2 cm
H = 4 cm

3. Obliczam pole podstawy
Pp = a²
Pp = (2 cm)²
Pp = 4 cm²

4. Obliczam hś wysokość ściany bocznej
z tw. Pitagorasa
z trójkata prostokątnego gdzie:
H - przyprostokatna
1/2a - przyprostokatna
hś - przeciwprostokatna

(hś)² = H² + (1/2a)²
(hś)² = (4 cm)² + (1/2*2 cm)²
(hś )² = 16 cm² + 1 cm²
(hś)² = 17 cm²
hś = √(17 cm²)
hś = √17 cm

5. Obliczam pole boczne ostrosłupa
Ostrosłup ma 4 ściany w postaci trójkata o boku a= 2 cm i hś = √17 cm

Pb = 4*1/2*a*hś
Pb = 2*2cm*√17 cm
Pb = 4√17 cm²

6. Obliczam pole całkowite ostrosłupa
Pc = Pp + Pb
Pc = 4 cm² + 4√17 cm²
Pc = 4( 1+ √17) cm²
Pc ≈ 8,12 cm²