Question

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna k = tworzy z wysokością ostrosłupa kąt = 30stopni. Oblicz objętość ostrosłupa. Jakie będą objętości brył powstałych z przecięcia ostrosłupa płaszczyzną równoległą do podstawy przechodzącą przez środek wysokości ?

Z góry dziękuje. :)

Answer 1

krawedz boczna k=4√3

krawedz podstawy(kwadrat)=a

przekatna podstawy=d

wysokosc ostroslupa H , tworzy razem z karwedzia boczna=k oraz ½przekatna podstawy =d Δ prostokatny o kacie  ostrym przy wysokosci 30°, wynika stad ze 

 

2·½d=k

d=k=4√3

½d√3=H

½·4√3·√3=H

H=2√3·√3=2·3=6--->wysokosc ostroslupa

wzor na przekatna kwadratu d=a√2

czyli 4√3=a√2

        a=4√3/√2=(4√6)/2=2√6 

Pole podstawy Pp=a²=(2√6)²=24 j²

Objetosc ostroslupa  

V=1/3Pp·h=1/3·24·6=48 j³

____________________________________________

 

1/2·H=1/2·6=3 ---->wysokosc mniejszego ostroslupa

1/2 przekatnej podstawy =x

 z wlasnosci katow ostrych 30,60,90 stopni wynika ze:

x√3=H

x√3=3

x=3/√3=(3√3)/3=√3

2x=k

k=2√3 --->kraw,boczna mniejszej bryly

wzor podany wczesniej na przekatna kwadratu x=a√2 to 1/2przekatnej a√2/2

czyli  podstawiamy :

√3=a√2/2

    a√2=2√3

a=2√3/√2 =(2√3·√2)/2 =(2√6)/2=√6  --->dl,krawedzi podstawy mniejszego ostroslupa

Pp=a²=(√6)²=6  j²

objetosc mniejszej bryly

Vm=1/3Pp·h=1/3·6 ·3=3/2=6 j²

 

 

roznica objetosci stanowi objestosc odcietego ostroslupa  i wynosi 

Vo=V-Vm=48-6=42  j³

 

sprawdzamy :   Vo+Vm=V

                          42+6=48

 

odp: Objetosci bryl powstalych przez przeciecie ostroslupa plaszczyzna rownolegla do podstawy i przechodzaca przez srodek wyskosci ostrolupa wynoszą  42 j²   i  6 j³