Question

W okręgu cięciwy AB i CD są prostopadłe i przecinają się w punkcie P. Wykaż, że prosta zawierająca środkową trójkąta DBP poprowadzoną z P pokrywa się z prostą zawierającą wysokość trójkąta ACP poprowadzoną z punktu P.

Answer 1

Oznaczenia jak na rysunku.

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku okręgu są równe.

[tex]|\angle CAB|=|\angle CDB|=\alpha[/tex]

Trójkąt DPE

Trójkąt DBP jest prostokątny.

[tex]|\angle DPB|=90^o[/tex]

E - środek odcinka DB

[tex]|DE|=|EB|[/tex]

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy połowie przeciwprostokątnej.

[tex]|PE|=\frac{1}{2}|DB|=|DE|[/tex]

czyli trójkąt DPE jest równoramienny.

[tex]|\angle DPE|=|\angle PDE|=\alpha[/tex]

Trójkąt APF

[tex]|\angle APF|=90^o-|\angle FAP|=90^o-\alpha[/tex]

Miara kąta EPF

[tex]|\angle EPF|=|\angle DPE|+|\angle DPA|+|\angle APF|\\\\|\angle EPF|=\alpha+90^o+90^o-\alpha\\\\\angle EPF|=180^o[/tex]

Oznacza to, że punkty E,P,F są współliniowe, czyli

prosta zawierająca środkową trójkąta DBP poprowadzoną z P pokrywa się z prostą zawierającą wysokość trójkąta ACP poprowadzoną z punktu P.