Question

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym A B C A1 B1 C1 poprowadzono odcinek A1 D (punkt D jest środkiem krawędzi B C) ,który jest nachylony do płaszczyzny podstawy pod katem α=60o. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego graniastosłupa, jeżeli krawędź podstawy jest równa 4 cm.

Answer 1

Podstawy są trójkątami równobocznymi o boku a = 4 cm.Odcinek A1D jest przeciwprostokątną trójkąta A1DA, przy czym A1A=H (wysokość graniastosłupa), a AD=h (wysokość podstawy, czyli trójkąta równobocznego).
Wiadomo (można wyliczyć z tw. Pitagorasa), że
h = a√3/2 = 4√3/2
H/h = tg 60⁰ = √3
więc
H = h√3 = 4√3/2 * √3 = 6 cm

Pole podstawy:
p1 = 1/2ah= 1/2*4*4√3/2 = 4√3 cm²

Pole ściany bocznej:
p2 = aH = 4 * 6 = 24 cm²

Pole całkowite:
P = 2p1 + 3p2 = 8√3 + 72 = 8(9 + √3) cm²

Objętość:
V=p1H = 4√3 * 6 = 24√3 cm³