Question

w ciągu arytmetycznym a₁+a₇=20 i a₄+a₇=24. Wyznacz wyraz ogólny tego ciągu

Answer 1

 

Aby wyznaczyc ogólny wyraz ciagu arytmetycznego potrzebny jest pierwszy wyraz ciągu (a₁)i jego róznica (r).

W zadaniu masz

a₁+a₇=20  czyli sume pierwszego i siódmego wyrazu ciagu

a₄+a₇=24 czyli sumę czwartego i siódmego wyrazu ciagu

 

najpierw musisz skorzytac z własności ciagu arytmetycznego:

an = a₁ + (n - 1)· r

 

według tego wzoru możesz zapisac dowolny wyraz ciagu:

 

a₇ = a₁ + (7 - 1)  · r = a₁ + 6r

a₄ = a₁ + (4 - 1) · r = a₁ + 3r

 

 

czyli pierwsze równanie możemy zapisac tak:

a₁+a₇=20

a₁ + a₁ + 6r = 20

2a₁ + 6r = 20

 

Podobnie drugie równanie:

 

a₄+a₇=24

a₁ + 3r  + a₁ + 6r = 24

2a₁ + 9r = 24

 

mozemy zapisac jako układ równań:

2a₁ + 6r = 20

2a₁ + 9r = 24

 

rozwiąże metodą przeciwnych współczynników:

2a₁ + 6r = 20 I · (-1)

2a₁ + 9r = 24

 

- 2a₁ - 6r = - 20

2a₁ + 9r = 24

------------------

3r = 4 I : 3

r = ⁴/₃

a₁ = 6  (mozesz policzyc podstawiając do któregos z równań)

 

teraz wracamy do wyznaczenia ogólnego wyrazu ciagu ze wzoru

an= a₁ + (n - 1)· r

an=  6 + (n - 1)·⁴/₃

an=  6 + ⁴/₃ n - ⁴/₃

an= 4⅔ +⁴/₃ n