Question

Niech u= -i,

Oblicz a) uv, u/v, ,

Bardzo proszę o pomoc. Potrzebuję tego na dziś wieczorem

Z góry dziękuję

Answer 1

u = - i

v = ( p(3) + i )/2

zatem

uv = - i *[ (1/2) p(3) + (1/2) i ] = - [p(3)/2] i + 1/2 = 1/2 - [ p(3)/2] i

============================================================

bo i^2 = - 1   oraz - i^2 = 1

u/v = - i / [ ( p(3) + i )/2 ] = - 2 i / [ p(3) + i ] =

= ( - 2i )*( p(3) - i)] / [ ( p(3) + i )*( p(3) - i ) ] =

= [ - 2 p(3) i  - 2 ]/ [ 3 - i^2 ] = [ -2 - 2 p(3) i ]/ [ 3 + 1} =

= -1/2 - (1/2) p(3) i

=====================

v = p(3)/2 +(1/2) I

a = p(3)/2

b =1/2

I v I = p [ a^2 + b^2] = p [ ( p(3)/2)^2 = )1/2)^2 ] = p[ 3/4 + 1/4] =p [ 4/4] =

= p(1) = 1

I v I = 1

cos fi = a/ I v I = p(3)/2

sin fi = b / I v I = 1/2

zatem  fi =  30 stopni

czyli

  v = cos 30 st + i sin 30 st  - postac trygonometryczna liczby zespolonej v

Z wzoru Moivre'a  mamy

v^9 = [ cos 30 st + i sin 30 st ] ^9 =

= cos 9*30 st + i sin 9*30 st = cos 270 st + i sin 270 st = 0 - 1 i = - i

v^9 = - i

==============

u = -i = 0 - i

a = 0; b = - 1

I u I = p[ 0^2 + (-1)^2 ] = p(1) = 1

cos fi =  a /I u I = 0 /1 =  0

sin fi = b/ I u I = -1/1 = - 1

zatem fi = 270 st

u = cos 270 st + i sin 270 st

p3st I u I = p3st ( 1) = 1

 

Pierwiastki 3 stopnia z liczby zespolonej u = - i to  liczby zespolone

u1, u2, u3 :

 

u1 = cos [ 270 st/3] + i sin [ 270 st/3]

u1 = cos 90st + i sin 90 st = 0 + i *1 = i

u2 = cos [(270 st + 360 st)/3] + i sin [ ( 270 st + 360 st)/3]

u2 = cos 210 st + i sin 210 st = cos ( 180 + 30)st + i sin ( 180 + 30) st

u2 = - cos 30 st - i sin 30 st = - p(3)/2 - (1/2) i

u3 = cos[ (270 st + 720 st)/3] + i sin [ (270 st + 720 st)/3]

u3 = cos  330 st + i sin 330 st = cos ( 270 + 60) st + i sin(270 + 60)st

u3 = sin 60 st - i cos 60 st = p(3)/2 - (1/2) i

Odp. Pierwiastki 3 stopnia z liczby zespolonej u = - i

to u1 = i ,  u2 = - p(3)/2 - (1/2) I,    u3 = p(3)/2 - (1/2) I

=====================================================

p(3) - pierwiastek drugiego stopnia z 3

p3st I u I   - pierwiastej 3 stopnia z modułu liczby zespolonej u