Question

Uzasadnij, że jeśli

a+b=1 i a² +b²=9, to a⁴ + b⁴ =49

Answer 1

a+b=1⇒a=1-b

a² +b²=9⇒(1-b)²+b²=9⇒1-2b+2b²-9=0

2b²-2b-8=0

√Δ=√(4+64)=2√17

b₁=1/2-√17/2; a₁=1/2+√17/2

b₂=1/2+√17/2; a₂=1/2-√17/2

Wybieramy jedno rozwiązania i podnosimy do potęgi czwartej a i b.

(1/2-√17/2)⁴+(1/2+√17/2)⁴=

[(1/2-√17/2)²]²+[(1/2+√17/2)²]²=

[1/4 - √17/2 + 17/4]²+[1/4 + √17/2 + 17/4]²=

[9/2 - √17/2]²+[9/2 + √17/2]²=

81/4 - 9√17/2 + 17/4 + 81/4 + 9√17/2 + 17/4 = 196/4 = 49

a⁴ + b⁴ =49