Question

Uzasadnij, że jeśli jeden bok prostokąta ma długość równą 1, a drugi równą n, gdzie n jest liczbą naturalną, to długość przekątnej tego prostokąta jest liczbą niewymierną.

Answer 1

a,b-boki prostokąta

a=1

b=n gdzie n∈N czyli n={1,2,3,4...}

 

d-przekatna prostokątna

 

Z tw.Pitagorasa

a²+b²=d²

1+b²=d²

d=√(1+b²)

 

Skoro b jest liczbą naturalna to całe wyrażenie pod pierwiastkiem jest liczba naturalna.W naszym przypadku mamy pierwiastek kwadratowy, a pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest liczbą wymierną wtedy gdy liczba pod pierwiastkiem jest kwadratem jakiejś liczby naturalnej.

 

W naszym przypadkudrat b² jest kwaem liczby naturalnej ,ale po dodaniu do tego 1 nie jest już nim, czyli długość naszej przekatnej jest liczbą niewymierną