Question

Uzasadnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba n^5-n jest podzielna przez 10.
Daje naj, ale proszę o rozwiązanie do końca weekendu.

Answer 1

Można zastosować tzw. indukcję matematyczną:
dla n = 0, 1, 2 widać że n⁵ - n jest podzielne przez 5, trzeba więc udowodnić,że jeżeli twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego n, to jest również prawdziwe dla n+1, czyli:
n⁵ - n jest podzielne przez 5 ⇒ (n +1)⁵ - (n+1) też jest podzielne przez 5: 
(n +1)⁵ - (n+1) = n⁵ + 5n⁴ + 10n³ + 10n² + 5n + 1 - n -1 = 
= n⁵ - n + 5n⁴ + 10n³ + 10n² + 5n = (n⁵ - n) + 5(n⁴ + 2n³ + 2n² + n)
Widać że:  (n⁵ - n) jest podzielne przez 5 z założenia, zaś 5(n⁴ + 2n³ + 2n² + n)  jest podzielne przez 5, a suma 2 liczb podzielnych przez 5 też jest podzielna przez 5 c.n.d.

Współczynniki do rozwinięcia (n + 1)⁵ z trójkąta Pascala.
GOTOWE!

Answer 2

wystarczy teraz przeanalizowac ostatnia cyfre w/w iloczynu
1⇒0 : 1 : 2 : 2
2⇒1 : 2 : 3 : 5
3⇒2 : 3 : 4 : 0
4⇒3 : 4 : 5 : 7
5⇒4 : 5 : 6 : 6
6⇒5 : 6 : 7 : 7
7⇒6 : 7 : 8 : 0
8⇒7 : 8 : 9 : 5
9⇒8 : 9 : 0 : 2
0-oczywiste
widac ze na kazdym poziomie jest 5 lub 0 i liczba parzysta

Cbdu