Question

Uzasadnij, że :
a)suma liczby naturalnej i kwadratu tej liczby jest podzielna przez 2;
b)różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych jest liczbą nieparzystą;
c)różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych nieparzystych jest podzielna przez 8;

Proszę pilne :(

Answer 1

A) n∈N
n+n²=n+n*n=n(1+n)
żeby liloczyn dwóch liczb naturalnych był podzielny przez 2, to co najmniej jeden czynnik musi być liczbą parzystą. W naszym przypadku jest spełniony ten warunek, np.
dla n=1 będzie 1*(1+1) w nawiasie będzie parzysta
dla n=2 będzie 2(1+2) przed nawiasem będzie parzysta

b)n - dowolna liczba naturalna
n+1 - kolejna liczba naturalna
n²-(n+1)²=n²-(n²+2n+1)=n²-n²-2n-1=-2n-1=-1(2n+1) - w nawiasie jest liczba nieparzysta (bo 2n oznacza liczbe podzielną przez 2 czyli parzystą i gdy do niej dodamy jeden, to na pewno będzie nieprzysta) razy -1 da zawsze nieparzystą

c) 2n+1 - dowolna liczba naturalna nieparzysta
2n+3 - kolejna liczba naturalna nieparzysta
(2n+1)²-(2n+3)²=4n²+4n+1-(4n²+12n+9)=4n²+4n+1-4n²-12n-9=-8n-8= 8(-n-1)
od razu widać że 8 razy cokolwiek w nawiasie daje liczbę podzielną przez 8