Question

Uzasadnij, że:
a) suma liczby naturalnej i kwadratu tej liczby jest podzielna przez 2,
b) różnica kwadratów kolejnych liczb naturalnych jest liczbą nieparzystą,
c) różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych nieparzystych jest podzielna przez 8,

Answer 1

A) 1 przypadek: jeżeli liczba nat. jest parzysta (2n; n∈N)
2n+(2n)²=2n+4n² -zawsze dzieli się przez 2, bo 4 i 2 są podzielne przez 2
2 przypadek: jeżeli liczba nat. jest nieparzysta (2n+1; n∈N)
2n+1+(2n+1)²=2n+1+4n²+4n+1=4n²+6n+2- zawsze dzieli się przez 2, bo 6, 4 i 2 są podzielne przez 2

b) gdy od poprzedniej odejmuję następną:
n²-(n+1)²=n²-n²-2n-1=-2n-1 -zawsze nieparzysta, bo -2 dzieli się przez 2, a po odjęciu od niego 1 jest liczbą nieparzystą

gdy od następnej odejmuję poprzednią:
(n+1)²-n²=n²+2n+1-n²=2n+1- zawsze nieparzysta, bo 2 dzieli się przez 2, a po dodaniu do niego 1 jest liczbą nieparzystą

c)2n+1- pierwsza l. nieparzysta
2n+3- druga l.nieparzysta

(2n+1)²-(2n+3)²=
4n²+4n+1-4n²-12n-9-=
-8n-8-zawsze podzielne przez 8, bo 8 jest podzielne przez 8;)