UN 2004 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm, titik P terletak pada perpanjangan CG sehingga .... Question from @Syubbana

October 2022 1 107 Report

UN 2004
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm, titik P terletak pada perpanjangan CG sehingga CP = 2CG. Panjang proyeksi CP ke bidang BDP adalah ... cm
a. √14
b. 9√2
c. 8√2
d. 7√2
e. 3√6

henriyulianto

Verified answer

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm, titik P terletak pada perpanjangan CG sehingga CP = 2CG.
Panjang proyeksi CP ke bidang BDP adalah 8√2 cm.
___________________

Pembahasan

Jika kita berbicara mengenai panjang ruas garis, dengan informasi CP = 2CG, titik P dapat berada "di atas" titik G atau "di bawah" titik C.
Jadi, asumsinya adalah CP = 2CG juga menyatakan panjang ruas garis berarahnya, sehingga P terletak "di atas" titik G. Walaupun begitu, pada kemungkinan kedua, jika kita selesaikan, panjang proyeksi yang diperoleh akan sama besar, dengan memperluas bidang BDP ke bagian bawah kubus (dengan asumsi ABCD adalah bidang dasar kubus).

Penyelesaiannya dapat dilakukan dengan setidaknya dua cara. Kita mulai dari yang "sepertinya" mudah dulu.

Cara Pertama: Dengan Trigonometri

Misalkan:

O adalah titik tengah bidang ABCD, dan
X adalah proyeksi titik C ke bidang BDP

maka CX ⊥ BDP, CX ⊥ OP, dan ΔCOP adalah segitiga siku-siku.

Panjang CX dapat ditentukan dengan perbandingan cosinus pada sudut CPX, yang sama dengan sudut CPO, sehingga berlaku:

$\begin{aligned}\frac{|CX|}{|CP|}&=\frac{|CP|}{|OP|}\\|CX|&=\frac{|CP|^2}{|OP|}=\frac{|CP|^2}{\sqrt{|CP|^2+|CO|^2}}\\&=\frac{\left(2|CG|\right)^2}{\sqrt{\left(2|CG|\right)^2+|CO|^2}}\\&\quad\left[\ \begin{aligned}&|CO|=\frac{1}{2}|CG|\sqrt{2}\\&\Rightarrow |CO|^2=\frac{1}{2}|CG|^2\end{aligned}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}|CX|&=\frac{4|CG|^2}{\sqrt{4|CG|^2+\dfrac{1}{2}|CG|^2}}\\&=\frac{4|CG|^2}{\sqrt{\dfrac{9}{2}|CG|^2}}=\frac{4|CG|^2}{\left(\dfrac{3|CG|}{\sqrt{2}}\right)}\\&=\frac{4\sqrt{2}\cdot|CG|}{3}\\&=\frac{4\sqrt{2}\cdot6}{3}=4\sqrt{2}\cdot2\\|CX|&=\boxed{\vphantom{\big|}\bf\,8\sqrt{2}\ cm\,}\end{aligned}$

___________________

Cara Kedua: Vektor

Misalkan:

O adalah titik tengah bidang ABCD, dan
X adalah proyeksi titik C ke bidang BDP

maka:

CX ⊥ BDP,
$\overrightarrow{PO}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CO}$ , dan
$\overrightarrow{PX}$ adalah proyeksi ortogonal dari vektor $\overrightarrow{PC}$ pada vektor $\overrightarrow{PO}$ .

Panjang vektor $\overrightarrow{PX}$ adalah panjang proyeksi CP ke bidang BDP.

Misalkan pula:

panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah $r$ ,
AB, CD, EF, dan GH sejajar sumbu X,
BC, AD, FG, dan EH sejajar sumbu Y, dan
AE, BF, CG, dan DH sejajar sumbu Z.

maka:

$\begin{aligned}\overrightarrow{PC}&=2\overrightarrow{GC}=(0,0,-2r)\\\overrightarrow{PO}&=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CO}\\&=\overrightarrow{PC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}\\&=\overrightarrow{PC}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}\right)\\&=(0,0,-2r)+\frac{1}{2}\left((0,-r,0)+(-r,0,0)\right)\\&=(0,0,-2r)+\frac{1}{2}\left(-r,-r,0\right)\\&=\left(-\frac{1}{2}r,-\frac{1}{2}r,-2r\right)\end{aligned}$

Panjang vektor $\overrightarrow{PO}$ dinyatakan oleh:

$\begin{aligned}\left|\overrightarrow{PO}\right|&=\left|\left(-\frac{1}{2}r,-\frac{1}{2}r,-2r\right)\right|\\&=\sqrt{2\cdot\left(-\frac{1}{2}r\right)^2+(-2r)^2}\\&=\sqrt{2\cdot\frac{1}{4}r^2+4r^2}\\&=\sqrt{\frac{1}{2}r^2+4r^2}\\&=\sqrt{\frac{9}{2}r^2}\\\left|\overrightarrow{PO}\right|&=\frac{3r}{\sqrt{2}}\end{aligned}$

Panjang vektor $\overrightarrow{PX}$ , yang merupakan proyeksi ortogonal dari vektor $\overrightarrow{PC}$ pada vektor $\overrightarrow{PO}$ , dinyatakan oleh:

$\begin{aligned}\left|\overrightarrow{PX}\right|&=\left|\frac{\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PO}}{\left|\overrightarrow{PX}\right|}\right|\\&=\left|\frac{(0,0,-2r)\cdot\left(-\frac{1}{2}r,-\frac{1}{2}r,-2r\right)}{3r/\sqrt{2}}\right|\\&=\left|\frac{\left(0,0,4r^2\right)\cdot\sqrt{2}}{3r}\right|\\&=\left|\left(0,0,\frac{4\sqrt{2}}{3}r\right)\right|\\&=\frac{4\sqrt{2}}{3}r\\\end{aligned}$

Dengan $r$ = 6 cm, panjang vektor $\overrightarrow{PX}$ , yang juga merupakan panjang proyeksi CP ke bidang BDP adalah:

$\begin{aligned}\left|\overrightarrow{PX}\right|&=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot6\\&=4\sqrt{2}\cdot2\\&=\boxed{\vphantom{\big|}\bf\,8\sqrt{2}\ cm\,}\end{aligned}$
___________________

KESIMPULAN

∴ Panjang proyeksi CP ke bidang BDP adalah 8√2 cm.

5 votes Thanks 4

henriyulianto sama2 kak @Ken

Matematika kelas 8 Garis y = ax - 3 memotong garis 2y = b - x dititik (2, 1) , Persamaan garis yang melalui (a, b) dan sejajar dengan garis y = ax - 3 adalah ... a. 2x + y - 8 = 0 b. 2x - y = 0 c. 2x - y - 8 = 0 x - 2y = 0

Answer

Syubbana October 2020 | 0 Replies

Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 4 cm. jika α merupakan sudut antara rusuk BF dan bidang BEG, nilai sin α adalah ... ? a) ¹/₃ √6 b) ¹/₃ √3 c) ¹/₃ √2 d) ¹/₆ √3 e) ¹/₆ √2 matematika wajib kelas 12 bab dimensi 3

Answer

Syubbana October 2020 | 0 Replies

limit x mendekati 0 (x.tan x) / (1 - cos 3x)matematika kelas 12bab limit trigonometri

Answer

Syubbana October 2020 | 0 Replies

limit x mendekati 1/2 pi (1 - sin x + cos x) / (sin 2x - cos x)matematika kelas 12bab limit trigonometri

Answer

Syubbana October 2020 | 0 Replies

Limas segi enam berarturan T.ABCDEF mempunyai panjang rusuk 8 cm dan tinggi 8√3 cm. jika α merupakan sudut antara bidang TAB dan bidang alas limas, nilai sin α adalah ... a) ¹/₅ √5 b) ²/₅ √5 c) ²/₅ √2 d) ²/₅ e) ¹/₅

Answer

Syubbana May 2020 | 0 Replies

Sebuah balok dengan alas persegi, diketahui luas alas dan selimut balok adalah 192 satuan luas, maka volume terbesar balok = ...

Answer

Syubbana May 2020 | 0 Replies

Jika diberikan huruf A, Y, A, M maka kata MAYA merupakan urutan yang ke ...

Answer

Recommend Questions

silvi5165 May 2021 | 0 Replies

Waktu yang di yanv di miliki ani adakab 35 menit 55 detik sedangjan waktu yang digunakan hasna untuk mengelilingi kapangan adalah 36 menit 25 detik selisih waktu antara ani dan hasna adalah

fujifuji365p7d4d5 May 2021 | 0 Replies

Apa saja tantangan umat islam di era modern saat ini? Mohon bantu jawab pertanyaannya

cindyay1670 May 2021 | 0 Replies

berdasarkan kepentingannya, cek, obligasi dan saham dapat digolongkan kedalam dolumen

nafa361613aulia May 2021 | 0 Replies

perhatikan beberapa pernyataan berikut!!!(1) rem digunakan untuk memperlambat laju kendaraan(2) batu yang terlempar dari ketapel(3) karet yang digunakan untuk mengikat suatu benda(4) alat pembuka botol minuman(5) anak panah yang melesat ketika dilepaskan pemanfaatan gaya potensial elastis ditunjukkan oleh nomorA. (1),(2),dan (3)B. (1),(2),dan (4) C. (2),(3),dan (5)D. (3),(4),dan (5)tolong kak lagi butuh banget inimakasih buat yang udah bantu:)

nur7208 May 2021 | 0 Replies

akar gantung pada pohon beringin berfungsi untuk?? (A.) Menjaga keseimbangan dari terpaan angin (B. )Membantu menyerap uap air dan gas (C). Mengurangi penguapan dan menjaga ketersediaan air (D). Alat pertahanan dari gangguan binatang #bantu jawab

nafa361613aulia May 2021 | 0 Replies

sistem peredaran darah kecil berturut turut ditunjukkan oleh nomor....A. 8-2-1-3-5B. 5-1-3-4-6C. 5-1-4-3-6D. 6-4-7-8-3TOLONG DONG KAKAK YANG BAIK BESOK HARUS DIKUMPULKAN !!!!!!!! TERIMAKASIH BANYAK :)

nokkeyla May 2021 | 0 Replies

bagaimana cara pemasaran sriping dan klanting

febi8388 May 2021 | 0 Replies

Kakak membeli 5 1/2 m kain polos dan 2 2/8 m kain corak.panjang kain yg dibeli kakak seluruhnya adalah

nafa361613aulia May 2021 | 0 Replies

seorang anak mengeluh mengalami sesak nafas ketika udara atau suhunya berubah menjadi dingin. Selain itu, ketika penyakitnya kambuh nafasnya sering berbunyi. Cara yang tepat untuk mencegah penyakit tersebut adalah.....A.) menggunakan masker ketika berada di daerah terpolusiB.) menghindari aroma yang menyengat C.) menggunakan jaket atau menghindari tempat yang dinginD.) menjaga pola makan yang teraturtolong dong kak plis!!!!!terimakasih buat yang sudah membantu :)

mahayurps May 2021 | 0 Replies

Tahap daur hidup ampal yang merugikan petani adalah A. Telur B. Larva C. Pupa D. Imago

Verified answer