Question

Umiejętności układu równań( przykłady)

1.Umnie podać przykładowe rozwiązanie równania pierszego stopnia z dwiema niewiadomymi.
2.Umnie zapisac treść zadania w postaci układu równań.
3.Umnie sprawdzic czy dana para liczby spełna układ równań.
4.Umnie wyznaczyć niewiadomą z równania.
5.Umnie rozwiąząć układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi metodą podstawiania
6.Umnie rozwiążąć układ równań pierwszwgo stopnia z dwiema niewiadomymi metodą przeciwnych współczyników

Answer 1

1. 

I.   Równanie I-go stopnia z dwiema niewiadomymi.

Po rozwiązywaniu takiego równania najczęściej otrzymujemy nieskończony

zbiór ozwiązań,np.:

y +4 = 2x-2+2y

Porządkujemy równanie:

y-2y = 2x-2-6

-y = 2x-6

y = -2x+6

 

Teraz,aby wyznaczyć parę rozwiązań obieramy dowolną liczbę za "x" i obliczam

"y" :

x=1

y = -2 *1+6

y = 4

Jednym rozwiązaniem jest para liczb (1,4)

 

x = 2

y = -2 *2 +6

y = 2

Następnym rozwiazaniem jest para liczb (2,2)

 

II.  Układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

a) Układ równań,którego rozwiązaniem jest para liczb,nazywamy UKŁDEM OZNACZONYM:

x+y = 5

x-2y = -1

 

y = 5-x

x-2(5-x) = -1

 

y = 5-x

x-10+2x = -1

 

y = 5-x

3x = 9

 

y = 5-x

x = 3

 

y = 6-x = 5-3 = 2

 

{x = 3}

{y = 2}

 

b)  Układ równań może mieć nieskończenie wiele rozwiązań.Taki układ nazywamy UKŁADEM NIEOZNACZONYM.Rozwiązaniem takiego układu równań 

jest każda para liczb spełniajacych jedno z równań.Taka para liczb zawsze spełnia takze drugie z równań układu nieoznaczonego.

x+y = 1   I*(-2)

2x+2y = 2 

 

-2x-2y = 1

2x+2y = 2

-------------

+

0 * x + 0 * y = 0

Układ nieoznaczony.Układ ten spełnia każda para liczb,która spełnia dowolne równanie układu,np: równanie  x+y = 1. 

c)  Ukłd równań,który nie ma rozwiązań,to UKŁAD SPRZECZNY>

x+y = 1   I*(-2)

2x+2y =3

 

-2x-2y = -2

2x+2y = 3

-------------

+

0 * x + 0 * y = 1

Układ sprzeczny.

 

2.  

 Zad.

Obwód prostokąta ma 28 cm.Jeżeli podstawę zwiększymy o 2 cm,a wysokość zmniejszymy o 2 cm,to pole otrzymanego prostokąta będzie o 2 cm2 większe od pola początkowego prostokąta.Oblicz miary boków pierwszego prostokąta. 

 

   Rozwiązanie:

a - miara podstawy pierwszego prostokąta w cm

b - miara wysokości pierwszego prostokąta w cm

a x b  - pole pierwszego prostokąta

 

Mamy dwie niewiadome i podstawą do ułożenia równań jest informacja o obwodzie oraz informacja o zmianie pola.

a1 = a+2  -  miara podstawy drugiego prostokąta,

b1 = b-2  -  miara wysokości drugiego prostokąta,

a1 x b1 = (a+2)(b-2)  - miara pola drugiego prostokata.

 

Otrzymujemy układ równań:

2a + 2b = 28   I:2

(a+2)(b-2) = ab + 2 

stąd:

a + b =14

ab - 2a + 2b - 4 = ab + 2   I:2

 

a + b =14

-a + b = 3

------------

+

     2b = 17

      b = 8,5 

a = 14 - b = 14 - 8,5 = 5,5

 

{a = 5,5}

{b = 8,5}

 

3.  Sprawdzenie:

2a + 2b = 2 x 5,5 + 2 x 8,5 = 11 + 17 = 28

a1 x b1 = 7,5 x 6,5 = 48,75   

      i

a x b = 5,5 x 8,5 = 46,75

a1 x b1  - a x b = 48,75 - 46,75 = 2

Odp.Podstawa prostokąta ma 5,5 cm,a wysokość 8,5 cm.

 

4.

2x -(3x-1)/4 = 3 -(1-7x)/3  I*12  (obie strony równania mnożymy przez wspólny dzielnik),otrzymujac:

12 x 2x - 3(3x-1) = 3 x 12 - 4(1-7x)

24x - 9x + 3 = 36 - 4 + 28x

24x - 37x = 29

      - 13x = 29  I:(-13)

           x = - 29/13 = - 2 3/13

           x = - 2 3/13

Odp.Rozwiązaniem równania jest x = -2 3/13.

 

5.

Metoda podstawiania:

Z jednego równania wyliczamy zmienną "x' lub "y' i podstawiamy ją do drugiego równania. Następnie za pomocą drugiego równania obliczamy druga zmienną.

w ten sposób mamy drugą zmienną za pomocą której wyliczamy pierwszą zmienną.

(1)  -3x+2y = 4

(2)  x+3y = 6

 

Z (2) mamy: x = 6-3y

wstawiamy do pierwszego:

(1)  -3(6-3y) + 2y = 4

       -18 + 9y + 2y = 4

          11y = 22/:2

              y = 2

 

Wstawiamy y = 2  do  x = 6 -3y,  i otrzymujemy:

x = 6 -3 x 2 = 0

Rozwiązaniem jest para liczb:

{x = 0}

{y = 2}

 

6.  Metoda przeciwnych współczynników.

10x + y + 3y = 44

10y + y - 5x = 52 

 

10x + 4y = 44  I:2

10y - 4x = 52   I:2

 

Mnożymy obie strony równania przez taką liczbę,aby otrzymać przy jednej 

z niewiadomych liczby przeciwne: 

5x + 2y = 22  I*2

-2x + 5y = 26  I*5

 

10x + 4y = 44

-10x + 25y = 130

---------------------

Następnie dodajemy stronami do siebie oba równania,pozbywając się w ten sposób jednej z niewiadomych:

           29y = 174  /:29

              y = 6

Teraz w jednym z równań za "y" podstawiamy y = 6:

-2x + 5y = 26

2x = 5y - 26 = 30 - 26 = 4

2x = 4

x = 2 

Odp.Rozwiązaniem jest para liczb:

{x = 2}

{y = 6}