Question

UMIEJĘTNOŚCI TEÓJKĄTÓW PROSTOKĄTNYCH.

1.Rozumie potrzebę stosowania twierdzenia Pitagorasa.

2.Umnie obliczyć długosć przecwprostokątnej na podstawie twierdzenia Pitagorasa.

3.Zna twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

4.Umie sprawdzic czy trójkąt o danych bokach jest prostokątny.

5.Umnie stosować twierdzenie Pitagorasa w prostych zadaniach trójkątnych,prostokatnych,trapezach,rombach

6.Umnie odczytać odległość między dwoma punktami o równych odcinkach lub rzędnych.

7.Rozumie potrzebę stosowania twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.

8.Umnie obliczć długość przekątnej kwadratu,znając jego bok

Answer 1

1. co do potrzeby to już kwestia względna - ale skoro Pitagoras wymyślił to można czasem zastosować ;) a samo twierdzenie wygląda następująco:

Jeżeli trójkąt prostokątny ma przyprostokątne długości a oraz b (przyprostokątne to te boki prostopadłe do siebie) i przeciwprostokątną długości c, to spełniony jest warunek:

suma kwadratów długości przyprostokątnych równa jest kwadratowi przeciwprostokątnej.

 

2. jak wyżej z przytoczonego wzoru. weżmy sobie np. trójkąt egipski (zwany też złotym lub właśnie pitagorejskim). Trójkąt taki ma przyprostokątne długości 3 i 4. Przeciwprostoktna to zatem:

złoty bo długości boków są kolejnymi liczbami całkowitymi (a do tego jeszcze jest prostokątny)

 

3. twierdzenie przeciwne do twierdzenia jeżeli p to q (gdzie p i q są jakimiś zdaniami logicznymi), p jest założeniem (trójkąt jest prostokątny), a q tezą (spełniony jest taki a taki wzorek) wygląda następująco:

 jeżeli nie q, to nie p, czyli w naszym przypadku:

jeżeli nie jest spełniony wzorek o sumie kwadratów to trójkąt nie jest prostokątny

i przes kolejne zaprzeczenie: jeżeli wzorek jest spełniony, czyli dla danych trzech liczb a,b,c, a^2+b^2=c^2 to istnieje taki trójkąt o bokach a,b i c, że a,b są przyprostokątnymi zaś c przeciwprostokątną

 

4. niech będzie dany trojkąt o bokach 6,8,10, sprawdzamy, że

6^2+8^2=36+64=100=10^2, więc jest prostokątny

 

5. zastosowanie w trójkątach, oprócz trójkątów prostokątnych per se, znaleźc można np. w obliczaniu wysokości trójkąta równoramiennego o podstawie a i bokach b. Wysokość opuszczona na podstawę jest do niej prostopadła, a w trójkącie równoramiennym, dzieli ją na połowy, zatem wyskokość h jest jedną z przyprostokątnych (drugą jest połowa podstawy), a bok b jest przeciwprostokątną, zatem:

h^2+(0.5a)^2=b^2, h^2=b^2-0.25a^2

w rombie, prostopadłe są do siebie przekątne, jeżeli znamy jedną przekątną i bok, możemy obliczyć drugą przekątną (przekątne w rombie połowią się):

a^2=(0.5x)^2+(0.5y)^2=0.25x^2+0.25y^2, y^2=4a^2-x^2, gdzie x,y to właśnie przekątne

podobnie jest w prostokącie, znając długości boków mozemy obliczyć dł. przekątnej

w trapezie (zwłaszcza równoramiennym) oblicza się w ten sposób długość ramienia znając wysokość i długości podstaw.

niech a,b będą dł podstaw w trapezie równoramiennym a h jego wysokością. długość ramienia d to:

d^2=h^2+x^2, gdzie x jest odległością od wierzchołka dłużej podstawy do punktu przecięcia jej z wysokością; dla trapezu równoramiennego b+2x=a więc x=0.5(a-b)

 

6. odległośc między dwoma punktami można nie tylko odczytać, ale i obliczyć:

jeżeli mamy punkty A=(x,y) i B=(w,z) to ich odległość:

jeżeli któraś współrzędna jest taka sama, odległość to po prostu różnica drógiej ze wzpółrzędnych. np. A=(2,5) i B(2,-3); odległość to d=|5-(-3)|=|5+3|=8 lub A=(0,1) B=(0,10) d=|1-10|=|-9|=9

|x| to wartość bezwzględna z x (zawsze dodatnia) zdefiniowana jako odległość x od początku ukladu współrzędnych.

 

7. co do rozumienia się nie wypowiadam - jak mamy wątpliwości, czy trójkąt jest prostokątny, a znamy długości jego boków to stosujemy to twierdzenie iwtedy wszystko jest jasne.

 

8. przekątna kwadratu wraz z jego dwoma bokami tworzą trójkąt prostokątny (boki są przyprostokątnymi - są do siebie prostopadłe, a przekątna jest przeciwprostokątną):

jeże a to długość boku, to długość przekątnej:

d^2=a^2+a^2=2a^2 , czyli przekątna (po spierwiastkowaniu):

 

pozdrawiam

Answer 2

1.

Jeżeli mamy dane dwa boki trójkata prostokątnego,a liczymy trzeci,to korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

a i b - przyprostokatne,

c - przeciwprostokątne,

a^2 + b^2 = c^2 

c = V(a^2 + b^2)

2.Tw. Pitagorasa:

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. 

a^2 + b^2 = c^2

3.

Tw.odwrotne do tw. Pitagorasa:

Jesli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku,to trójkąt jest prostokątny.

4.

Sprawdzamy stosując tw. Pitagorasa i wiedząc,że przeciwprostokątna "c" jest

najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego.

Np. Z podanych długości boków,wskaż wsród nich trójkąty prostokątne:

a)  3cm, 4 cm, 5 cm

5^2 =? 3^ + 4^2

25 = 9+16

L = P

Trójkat jest prostokątny.

b)  5 cm, 6 cm, 8 cm

8^2 =? 5^2 + 6^2

64 =/= 25+36

L = 64

P = 61

Trójkat nie jest prostokątny.

5.

TRÓJKĄT

Mając trójkat równoramienny o podstawie a i bokach b,oblicz wysokość h.

Wysokość opuszczona z wierzchołka trójkata równoramiennego dzieli ten trójkart na dwa prostokątne o podstawie a/2 i boku b,stąd:

h^2 + (a/2)^2 = b^2

h^2 = b^2 -(a/2)^2

h = V[b^2 -(a/2)^2]

PROSTOKĄT:

 Oblicz przekątną prostokąta o bokach a i b :

d^2 = a^2 + b^2

d = V(a^2 + b^2)

TRAPEZ :

Majac trapez równoramienny o dłuższej podstawie "a" i krótszej "b" oraz wyso-

kości "h" oblicz długość ramienia "r" : 

2x = a-b

x = (a-b)/2

r^2 = h^2 + [(a-b)/2]^2

r = V{h^2 + [(a-b)/2)^2]}

ROMB

W rombie przekatne przecinają się w połowie i są prostopadłe. Znajac jego bok

"a" i jedna przekatną "e",mozemy obliczyć długość drugiej przekatnej "f",

a^2 =(e/2)^2 +(f/2)^2

(f/2)^2 = a^2 -(e/2)^2

f^2/4 = a^2 - e^2/4    I*4

f^2 = 4a^2 - e^2

f = V(4a^2 - e^2)

6.

Mając punkty o współrzędnych: A(xA,yA) i B(xB,yB) odległość miedzy nimi L;

L = V[xB-xA)^2 +(yB-yA)^2],  (to wszystko pod pierwiastkiem) 

7.

Stosując tw. odwrotne do tw. Pitagorasa ,znając długosci boków trójkata potrafimy stwiewrdzić,czy dany trójkąt jest prostokątny.

8.

a - długość boku kwadratu

d - przekątna kwadratu

 

d^2 = a^2 + a^2 v

d^2 = 2a^2

d = aV2