Question

Udowodnij i wyjaśnij

a) (A u B)\A = B\(A n B)

b) (A u B) n (A n B) = A n B

c) (A u B)\(A n B) = (A\B) u (B\A)

różnica \

suma u

iloczyn n

Answer 1

Prawdziwość podanych równości sprawdzimy za pomocą duagramów Venna

a)

(A u B) \ A = B \ (A n B)

patrz załącznik - diagram 1 - jak widać zbiory wystepujące po obu stronach równości są takie same zatem równość jest prawdziwa

 

b)

(A u B) n (A n B) = A n B

patrz załącznik - diagram 2 - jak widać zbiory wystepujące po obu stronach równości są takie same zatem równość jest prawdziwa

 

c)

(A u B) \ (A n B) = (A \ B) u (B \ A)

patrz załącznik - diagram 3 - jak widać zbiory wystepujące po obu stronach równości są takie same zatem równość jest prawdziwa

 

 

Równość podanych zbiorów możemy również udowodnić korzystając z definicji działań na zbiorach:

Suma zbiorów A i B

Iloczyn zbiorów A i B

Różnica zbiorów zniorów A i B

Różnica zbiorów zniorów B i A

 

a)

(A u B) \ A = B \ (A n B)

x ∈ (A u B) \ A ⇒ x ∈ A u B ∧ x ∉ A ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B ∧ x ∉ A ⇒ x ∈ B ∧ x ∉ A ⇒ x ∈ B \ A

x ∈ B \ (A n B) ⇒ x ∈ B ∧ x ∉ A n B ⇒ x ∈ B ∧ x ∉ A ⇒ x ∈ B \ A

W obu przypadkach x ∈ B \ A, zatem równość jest prawdziwa

 

b)

(A u B) n (A n B) = A n B

x ∈ (A u B) n (A n B) ⇒ x ∈ A u B ∧ x ∈ A n B ⇒ x ∈ A n B

x ∈ A n B

W obu przypadkach x ∈ A n B, zatem równość jest prawdziwa

 

c)

(A u B) \ (A n B) = (A \ B) u (B \ A)

x ∈ (A u B) \ (A n B)

x ∈ (A \ B) u (B \ A) ⇒ x ∈ A \ B ∨ x ∈ B \ A ⇒ (A u B) \ (A n B)

W obu przypadkach x ∈ (A u B) \ (A n B), zatem równość jest prawdziwa