Question

Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym suma przyprostokątnych jest równa sumie przeciw prostokątnej i średnicy okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Answer 1

Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o bokach a,b,c jest dana wzorem

r=ab/(a+b+c),

gdzie

a=2uv, b=u^{2}-v^{2} i c=u^{2}+v^{2},

a < c > b.

r=2uv(u+v)(u-v)/(2uv+u^{2}-v^{2}+u^{2}+v^{2})=

2uv(u+v)(u-v)/(2uv+2u^{2})=

2uv(u+v)(u-v)/2u(v+u)=v(u-v).

Mamy okazać, że a+b=c+2r.

a+b=2uv+u^{2}-v^{2}=u^{2}+v^{2}+2r daje 2v(u-v)=2r=d