Question

Udowodnij, że suma odległości dowolnego punktu leżącego wewnątrz sześciokąta równokątnego od prostych zawierających jego boki jest stała.

WSKAZÓWKA: Należy uzupełnić sześciokąt do trójkąta równobocznego, następnie przedstawić daną sumę w zależności od wyskości tego trójkąta i od wyskości trzech narożnych trójkątów równobocznych.

To ważne, bardzo proszę o pomoc!

Answer 1

Oznaczenia jak na rysunku - patrz załącznik

 

ABCDEF - sześciokąt równokątny

P - dowolny punkt leżący wewnątrz sześciokąta ABCDEF

ΔKLM, ΔKBA, ΔCLD, ΔEMF - trójkąty równoboczne

h - wysokość ΔKLM

h₁ - wysokość ΔKBA

h₂ - wysokość ΔCLD

h₃ - wysokość ΔEMF

 

x₁ - odległość punktu P od prostej zawierającej bok AF

x₂ - odległość punktu P od prostej zawierającej bok AB

x₃ - odległość punktu P od prostej zawierającej bok BC

x₄ - odległość punktu P od prostej zawierającej bok CD

x₅ - odległość punktu P od prostej zawierającej bok DE

x₆ - odległość punktu P od prostej zawierającej bok EF

 

Odległość punktu od prostej jest to długość odcinka zawartego w prostej prostopadłej do do danej prostej, którego końcami są dany punkt i punkt przecięcia prostej prostopadłej z daną prostą.

 

Wysokość trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta z przeciwległym bokiem lub jego przedłużeniem. Odcinek ten jest prostopadły do tego boku lub jego przedłużenia.

 

Stąd:

h₁ + x₂ + x₅ = h ⇒ x₂ + x₅ = h - h₁

h₂ + x₄ + x₁ = h ⇒ x₄ + x₁ = h - h₂

h₃ + x₆ + x₃ = h ⇒ x₆ + x₃ = h - h₃

 

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆ = (x₂ + x₅) + (x₄ + x₁) + (x₆ + x₃) = h - h₁ + h - h₂ + h - h₃ = 3h - h₁ - h₂ - h₃ = 3h - (h₁ + h₂ + h₃)

 

Długości wyskości h, h₁, h₂, h₃ odpowiednio w trójkątach KLM, KBA, CLD i EMF są wielkościami stałymi, więc bez względu na wybór punktu P leżącego wewnątrz danego sześciokąta równokątnego ABCDEF, suma odległości tego punktu od prostych zawierających boki tego sześciokąta wynosi: 3h - (h₁ + h₂ + h₃), czyli jest stała.