Udowodnij, że : jest większe od dla n.... Question from @natamora

natamora @natamora

October 2018 1 23 Report

Udowodnij, że :

$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{3n+1 }$ jest większe od $1$

dla n $\geq 1$

$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{3n+1}$

Możemy zdefiniować ciąg:

$b_m = \frac{1}{n+m}$

Będziemy rozważać sumę jego $2n+1$ pierwszych wyrazów.

Nasza teza wyrażona z użyciem tego ciągu to:

$\sum_{m = 1}^{2n+1}b_m > 1$

Zdefiniujemy drugi ciąg:

$c_k = b_k + b_{2n+2-k} = \frac{1}{n+k}+\frac{1}{n + 2n +2-k} = \frac{1}{n+k}+\frac{1}{3n +2-k} =\\= \frac{3n +2-k + n + k}{(n+k)(3n +2-k)} = \frac{4n +2}{(n+k)(3n +2-k)}$

Szukamy najmnieszego wyrazu ciągu, ponieważ wszystkie liczniki są równe i dodatnie to, aby minimalizować wyrazy ciągy należu maksymalizować ich mianowniki (n - parametr) - wystarczy znależć wieszchołek paraboli:

$f(k) = (n+k)(3n +2-k) = -k^2 + (2n+2)k + 3n^2+2n\\ k_w = -\frac{2n+2}{2\cdot (-1)} = n+1$

teraz możemy wyrazić teza za pomocą nowego ciągu:

$\sum_{m = 1}^{2n+1}b_m = \sum_{k = 1}^{n}c_k + b_{n+1} > 1$

Wszystkie wyrazy sumy można przeszacować od dołu przez najmniejszy z nich:

$\sum_{k = 1}^{n}c_k + b_{n+1} > n\cdot c_{n+1} + b_{n+1} = n \cdot \frac{4n+2}{f(n+1)} + \frac{1}{2n+1} = \\ = \frac{4n^2+2n}{(3n+1)(n+1)}+\frac{1}{2n+1} = \frac{4n^2+2n+3n+1}{(3n+1)(n+1)} = \frac{4n^2+5n+1}{3n^2 + 4n+1} = \\=1 + \frac{n^2+n}{3n^2 + 4n+1} > 1+0 = 1$

More Questions From This User See All

Natamora February 2019 | 0 Replies

Czy w swobodnie spadającej windzie obowiązuje prawo Archimedesa? Zadanie z egzaminu. Jak na podstawie teorii wyjaśnić, że nie obowiązuje.

Natamora January 2019 | 0 Replies

Oblicz całkę nieoznaczoną: Chodzi głównie o wyjaśnienie jakim sposobem, a nie rozwiązanie całej całki :)

Natamora January 2019 | 0 Replies

Ustal symbol chemiczny pierwiastka, którego atom ma masę równą 0,167·10-23 g. Wytłumaczy ktoś dlaczego tym pierwiastkiem jest wodór i skąd to się wzięło? ;)

Natamora December 2018 | 0 Replies

Rozwiąż równanie: 2sinx+|sinx|>0

Natamora December 2018 | 0 Replies

Mam takie równania i nie za bardzo pamiętam jak się je rozwiązywało

Natamora December 2018 | 0 Replies

Mam nierówność z wartością bezwzględną: ||x+1|-x|<=2 i dalej: |-x+1|<=2+x ^ |x+1|>=-2+x I tu mam pytanie bo nie za bardzo pamiętam... co mam zrobić dalej? mam to rozważać znowu i temu x poza wartością bezwzględną zmieniać znaki? można tak?

natamora November 2018 | 0 Replies

Udowodnij tożsamość:

natamora November 2018 | 0 Replies

Udowodnij tożsamość:

natamora November 2018 | 0 Replies

Rozwiąż równanie:sin(2x)+cos(x)=0tylko na poziomie materialu z 1 lo tzn. z wykresów, wzorów redukcyjnych i innych np. na sin(2x) itd.

natamora November 2018 | 0 Replies

Rozwiąż równanie :sin(2x)+cos(x)=0tylko na poziomie 1 klasy liceum, zadnych delt itd. korzystajac z wykresu, wzorów redukcyjnych itp.

Recommend Questions

user7521 October 2020 | 0 Replies

Na loterii jest 10 losów wygrywających i 20 losów przegrywających. Ile losówgrywających należy dodać, aby prawdopodobieństwo wygranej zmniejszyło się do 1/5 ? wiem ze to bedzie 20 ale nie wiem jakie obliczenia

amelkaskoczylas October 2020 | 0 Replies

Pomocy! Zadanie 7!!! Na teraz

starfiuqa October 2020 | 0 Replies

Poloncz równe ułamki

abcebqjfj October 2020 | 0 Replies

uzupełnij zdanie zamiast kropek wpisz większy lub mniejszy a) zaokrąglenie liczby 8,149 do części dziesiętnych jest......... od tej liczby b)zaokrąglenie liczby 284 do dziesiatek jest......... od tej liczby

ola737626 October 2020 | 0 Replies

BŁAGAM POMÓŻCIE PLIIIISSSSSSSS ❤️❤️❤️ DAJE ❤️ I NAJ!!!!!! BĘDĘ WDZIĘCZNA PLISSSSSSSSS...W tabeli (w załączniku) podano wyniki zakończonego sezonu szkolnej ligi piłkarskiej każda z drużyn rozegrała 10 meczów. Za wygrany mecz otrzymywała 3 punkty za remis 1 punkt a za porażkę 0 punktówWykonaj polecenie i napisz działanie Niebiescy w 10 meczach zdobyli 26 punktów. Ile razy odnieśli zwycięstwo A ile razy zremisowali

martimisu October 2020 | 0 Replies

proszę o szybką pomoc!

Missaaaa October 2020 | 0 Replies

Oblicz DAJE NAJMatematyka PROSZĘ o szypka odpowiedź Na dzisiaj

radziszewska2115 October 2020 | 0 Replies

Zrobi ktoś ? prosze pilne na jutrro!!

jhjhkjl456362 October 2020 | 0 Replies

Oblicz i odpowiedź podaj w najprostszej postaci. Podaj dziedzinę. Bardzo proszę o szybką odpowiedź! Zad w załączniku

0904Bd October 2020 | 0 Replies

Proszę o rozwiązanie zadania nr 8

Terms of Service

Life Enjoy

" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "

Get in touch

Social

© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.