Question

Udowodnij, że jeżeli dwie liczby naturalne a i b przy dzieleniu przez 7 mają równe reszty, to różnica kwadratów liczb a i b jest podzielna przez 7

Answer 1

Dla zadanych a i b sa jakies liczbym całkowite m, n i c, takie, że:
a = 7m + c
b = 7n + c
a^2 - b^2 = (a + b)(a-b) = (7 (m+n) + 2c) * (7 (m-n) +c - c) =
= (7 (m+n) + 2c) * 7 * (m-n) = 7 * (7 (m+n) + 2c)(m-n)
poniewaz m, n, c sa calkowite, wiec (7 (m+n) + 2c)(m-n) tez jest calkowita,
i jezeli oznacze (7 (m+n) + 2c)(m-n) = k, to
a^2 - b^2 = 7 k
koniec dowodu