Question

Udowodnij że iloczyn cyfr dowolnej liczby naturalnej większej od 9 jest zawsze mniejszy od tej liczby..

Prosze od dokładne wyjasnienie

Answer 1

Liczbę dwucyfrową można zapisać jako 10a + b, a iloczyn jej cyfr jako ab , gdzie a∈{1,2,3,...,9} i b∈{0,1,2,3,...,9}.

Żeby iloczyn ab był większy od 10a + b, najpierw musiałby być większy od 10a; jednak a i b przyjmują wartości nie większe niż 9, zatem najwyższa wartość iloczynu ab dla danego a to 9a. Stąd

iloczyn cyfr = ab ≤ 9a < 10a (bo a≠0) ≤10a+b = liczba

Podobnie dla liczby trzycyfrowej 100a + 10b + c iloczyn abc nie będzie większy od 100a, ponieważ maksymalna wartość bc to 9² = 81 i 100a > 81a. Analogicznie sprawa wygląda dla wszystkich kolejnych liczb naturalnych, bo dla dowolnego n≥1 prawdziwa jest nierówność 10^n > 9^n.