Question

Udowodnij że dla każdej liczby naturalnej "n" liczba "n3(do 3 potęgi)-n" jest podzielna przez 6. Proszę o rozwiązanie zadamia w formie wzoru (bo podstawić jakąś liczbę za "n" to potrafię, ale to trzeba rozwiązać jakoś wzorem). Z góry dziękuję :)

Answer 1

dla n=1 1-1=0 --- zero podzielne przez 6

zał. ind. dla n= k
n3-n=6t k3 - k= 6t
teza ind. dla n= k+1
(k+1)3 - (k+1) = 6 t1
Dowód indukcyjny;

L= k3 +3k2 +3k +1 - k -1= k3 +3k 2 +2k = k3 -k +3k2 +2k +k =
( dodajemy i odejmujemy k)

nastepnie (k3- k) +3k2 +3k = 6t +3*k*(k+1)
z liczb kolejnych k i (k+1) jedna jest parzysta , więc
3* parzysta = 6t1 --- czyli podzielna przez 6
oba skladniki dziela sie przez 6

co udowadnia nam ze
n3 - n jest podzielne przez 6.