Question

Trzy liczby o sumie 56 tworzą ciąg geometryczny.Jeżeli do pierwszej z nich dodamy 3, a do drugiej 2, a trzecią zmniejszymy o 7,to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego.Wyznacz te liczby


prosze zrobcie bo jutro mam z tego kartkowke

Answer 1

A1,a2,a3 - ciąg geometryczny
czyli
a2 = a1*q oraz a3 = a1*q²
mamy a1 + a2 + a3 = 56
czyli a1 + a1*q + a1*q² = 56
a1*(1 + q + q²) = 56 = 8*7
zatem a1 = 8 i 1+q + q² = 7 lub a1 = 7 i 1+q + q² = 8
I.
Sprawdzam dla a1 = 8
1+q + q² = 7 --> q*(1 +q) = 7 - 1 = 6 = 2*3 ---> q = 2
Mamy zatem
a1 = 8
a2 = a1*q = 8*2 = 16
a3 = a1*q² = 8*2² = 8*4 = 32
b1 = a1 + 3 = 8 +3 = 11
b2 = a2 + 2 = 16 + 2 = 18
b3 = a3 - 7 = 32 - 7 = 25
Sprawdzam czy b1,b2,b3 jest ciągiem arytmetycznym?
b2 - b1 = 18 - 11 = 7 oraz b3 - b2 = 25 - 18 = 7
Jest to ciąg arytmetyczny o b1 =11 oraz różnicy r = 7.
II.
Sprawdzam dla a1 = 7
1 +q +q² = 8 ---> q +q² = 8 - 1 = 7
q² + q - 7 = 0
Δ = 1² -4*(-7) = 1 + 28 = 29
q = [-1 -√29]/2 lub q = [-1 +√29]/2
Dla q = [-1 -√29]/2
a1 = 7
a2 = 7*[-1-√29]/2 = 3,5*[-1 -√29]
a3 =7*[-1 -√29]² / 4 = 7*[30 +2√29]/4 = 7*[15+√29]/2 =3,5*[15+√29]
b1= a1 + 3 = 10
b2 = a2 + 2 = 3,5*[-1 -√29] +2 = -1,5 -3,5√29
b3 = a3 - 7 = 3,5*[15+√29] - 7 = 52,5 - 7 +3,5√29 = 45,5 +3,5√29
b2 - b1 = -1,5 -3,5√29 -10 = -11,5 -3,5√29
b3 - b2 = 45,5 +3,5√29 +1,5 +3,5√29 = 47 + 7√29
Ten ciąg nie jest arytmetyczny.
Dla q = [-1+√29]/2
a1 = 7
a2 = 7*[-1 +√29]/2 = 3,5*[-1 +√29]
a3 = 7*[-1 +√29]² /4 = 7*[ 1 - 2√29 +29]/4 = 7*[30 -2√29]/4 =
= 3,5*[15 -√29]
b1 = a1 +3 = 10
b2 = a2 + 2 = -3,5 +3,5√29 +2 = -1,5 +3,5√29
b3 = a3 -7 = 52,5 -3,5√29 - 7 = 45,5 -3,5√29
b2 - b1 = -1,5 +3,5√29 -10 = -11,5 +3,5√29
b3 - b2 = 45,5 -3,5√29 +1,5 -3,5√29 = 47 - 7√29
Ten ciąg też nie jest arytmetyczny,
Odp.Te liczby to:8, 16, 32.