Question

Trzy liczby , których suma jest równa 39, są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Jeżeli pierwszą z nich zwiększymy trzykrotnie, drugą zwiększymy dwukrotnie, a trzecią pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny, Znajdź te liczby.

Proszę o obliczenia, a także wytlumaczenie co i jak ;)

Answer 1

Trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego : a₁, a₁*q, a₁*q²

 

Z treści zadania wynika że ich suma wynosi 39, więc:

 

a₁ + a₁q + a₁q² = 39

 

Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego:

 - pierwszy (a₁) zwiększamy 3-krotnie, czyli zapis : 3a₁

- drugi (a₁q) zwiększamy 2-krotnie, czyli zapis: 2a₁q

- trzeci bez zmian, czyli zapis: a₁q²

 

 

Układamy teraz odpowiednie równanie korzystając z własności:

 

 

Dla q=1:

 

a₁ + a₁*1 + a₁*1² = 39

a₁ (1+1+1²)= 39

3a₁ = 39 | :3

a₁ = 13

 

czyli w ciągu geometrycznym wyglądałoby to tak:

13 + 13 + 13 = 39 (q=1)

 

a w ciągu arytmetycznym tak:

2*2*13 = 3*13+13

52 = 39+13

 

 

rozważymy teraz drugą opcję uzyskaną z Δ,czyli q=3:

 

 

ciąg geometryczny dla q=3 :

 

3+9+27 = 39

 

ciąg arytmetyczny :

2*2*9 = 3*3+27

36 = 9+27

 

 

Czyli wychodzi na to, że szukanymi liczbami są : 13 , 13 , 13  lub 3, 9 i 27. :)

Answer 2

trzy liczby a,b,c. tworzą ciąg geometryczny gdy:

z warunku zadania liczby 3a,2b,c tworzą ciąg arytmetyczny gdy:

 

musimy rozwiązać układ równań

 

 

 

 

 

 

 

b=9 lub b=13

 

dla b=9, a=3, c=27

 

dla b=13, a=13,c=13

 

te liczby to: (3,9,27) lub (13,13,13)