Question

Trzy liczby, których suma jest równa 28, tworzą ciąg geometryczny. Liczby te są również kolejno wyrazami pierwszym, drugim i czwartym ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby.

Proszę o logiczne obliczenia krok po kroku, źadnych zgadywanek.

Answer 1

Mamy

x + y + z = 28

x, y, z  - ciąg geometryczny, zatem mamy

y/x = z/y  ---> y^2 = x*z

y - x  = r  - różnica ciągu arytmetycznego

zatem

a1 = x

a2 = y

a4 = a1 + 3r = x + 3*(y - x) = x + 3y - 3x = 3y - 2x

Mamy zatem

a4 = z = 3y - 2x

------------------------

Mamy układ równan:

x + y + z = 28  --> x = 28 - y - z

y^2 = x*y

z = 3y - 2x

-----------------

x = 28 - y - (3y - 2x)

y^2 = x*z

---------------------------

x = 28 - 4y + 2x

y^2 = x*z

---------------------------

x = 4y - 28

y^2 = (4y - 28)*z

-------------------------

y^2 = (4y - 28)*[ 3y - 2(4y - 28)]

y^2 = (4y - 28)*(56 - 5y)

y^2 = 224y - 20y^2 - 1568 + 140y

21 y^2 - 364 y + 1568 = 0

========================

delta = 132 496 - 4*21*1568 = 132 496 - 131 712 = 784

p (delty) = 28

y = [ 364 - 28]/42 = 336/42 = 8

lub  y = [ 364 + 28]/42 = 392/42 = 9  1/3

zatem

x = 4*8  - 28 = 32 - 28 = 4

lub  x = 4* 9  1/2  - 28 = 37  1/3 - 28 = 9  1/3

oraz

z = 3*8 - 2*4 = 24 - 8 = 16

lub   z = 3*9  1/3 _ 2 * 9  1/3 =  9  1/3

Odp. x = 4,  y =  8, z = 16

lub

x = 9  1/3,  y = 9  1/3 ,  z = 9  1/3

===============================

 

 

 

 

Answer 2

a - I wyraz ciągu arytmetycznego i jednocześnie I wyraz ciągu geometrycznego,

a+r - II wyraz ciagu arytm. i jednocześnie II wyraz ciągu geometrycznego,

a+3r - IV wyraz ciągu arytm. i jednocześnie III wyraz ciągu geometrycznego.

 Mamy więc układ równań: 

 

 a+(a+r)+(a+3r) = 28

 (a+r)/a = (a+3r)/(a+r)

 

 3a+4r = 28

 (a+r)^2 = a(a+3r)

 

 a = (28-4r)/3

 a^2 +2ar+r^2 = a^2 +3ar

 

 a = (28-4r)/3

 r^2 - ar = 0 

 

a = (28-4r)/3 

r(r-a) = 0 ,  (r = 0  lub r-a = 0) 

 

a = (28-4r)/3 

r = 0

 

{a = 28/3} 

{r = 0} 

 

I liczba = 28/3 

II liczba = 28/3 

III liczba = 28/3

 

lub: 

 a = (28-4r)/3

 r-a = 0 

 

a = (28-4r)/3 

r - (28-4r)/3 = 0 I*3 

 

a = (28-4r)/3 

3r-28+4r = 0 

 

a = (28-4r)/3 

7r = 28 

 

a = (28-4r)/3 

r = 4 

 

a = (28-4*4)/3 

 

{a = 4} 

{r = 4} 

 

I liczba = 4 

II liczba =  4+4 = 8  

III liczba  = 4 +3*4 =16  

Odp.Szukany ciąg geometryczny ma postać: 28/3, 28/3, 28/3 lub: 4, 8, 16.