Question

Długość trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny. Przekątna prostopadłościanu ma długość , a jego objętość jest równa . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu.

Obliczenia muszą zostać przeprowadzone przy użyciu własności ciągów geometrycznego i arytmetycznego.

np.:

=>

Answer 1

a,b=krawędzie podstawy

c=krawedz boczna

 

iloraz q=c/b=b/a

ac=b²

c=b²/a

 

v=abc=ab×b²/a=b³=64cm²

b=∛64=4cm

 

c/4=4/a

ac=16

 

√84=√[a²+b²+c²]  /²

a²+4²+(16/a)²=84

a²+16+256/a²=84   /×a²

a⁴+16a²+256=84a²

a⁴+16a²-84a²+256=0

a⁴-68a²+256=0

 

a²=t

t²-68t+256=0

Δ=b²-4ac=4624-1024=3600

√Δ=60

t₁=[-b-√Δ]/2a=[68-60]/2=4

t₂=[-b+√Δ]/2a=[68+60]/2=64

 

a²=t

a²=4 lub a²=64

a=2 lub a=8

 

c=16/a=16/2=8  lub c=16/8=2

 

wymiary;

a=2

b=4

c=8

Pp=ab=2×4=8cm²

Pb=2ac+2bc=2×2×8+2×4×8=32+64=96

 

Pc=2×8+96=112cm²

Answer 2

a, b, c - długość krawędzi prostopadłościanu (kolejne wyrazy ciągu geometrycznego)

a < b < c oraz a, b, c ∈ R ₊ (bo są to długości boków, czyli muszą być dodatnie)

D - przekątna prostopadłościanu

d - przekątna podstawy (o bokach a i b)

V - objętość prostopadłościanu

Pc = pole całkowite prostopadłościanu

 

 

Z własności ciągu geometrycznego:

 

Zatem

 

Stąd

 

Przekątna podstawy:

Przekątna prostopadłościanu:

Stąd

Zatem

Stąd

czyli

 

 

Odp. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi 112 cm².