Question

Trzy liczby, których suma jest równa 21, tworzę cięg arytmwtyczny. Jeżeli od pierwszej odejmiemy 1, od drugiej 4, a od trzeciej 3, to otrzymane różnice utworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny, pilne:)

Answer 1

(x, y, z) − ciąg arytmetyczny
(x−1, y−4, z−3) − ciąg geometryczny
Na podst. treści i z własności ciągów otrzymujemy układ równań:
x + y + z = 21
x=x+z//2
x+Z=2y
2y+y=21
3y=21//3
y=7

(y−4)2 = (x−1)(z−3)
Czyli x + z = 14 ⇒ x = 14 − z
(7−4)2 = (14−z−1)(z−3) 9 = (13−z)(z−3) 9 = 13z − 39 − z2 + 3z z2 − 16z + 48 = 0 Δ= 64, √Δ = 8, z1 = 12, z2 = 4 x1 = 14 − 12 = 2, x2 = 14 − 4 = 10
Zatem: x=2, y=7, z=12 lub x=10, y=7, z=4. Odp. Szukane liczby to: (2, 7, 12) lub (10, 7, 4).

Answer 2

A1, a1 +r,a1 +2r -ciąg arytmetyczny
a1+ a1 +r +a1 + 2r = 21
3a1 + 3r = 21
a1 + r = 7 ---> r = 7 - a1
a1 -1, a1 +r - 4, a1 +2r - 3 - ciąg geometryczny
a1 -1, a1 +(7 - a1) -4 = 3, a1 + 2*(7 -a1) - 3 = -a1 +11 - c. geometr.
zatem
3/(a1 -1) = (-a1 +11)/3
(a1 -1)*(-a1 +11) = 3*3
-(a1)² +12 a1 -11 - 9 = 0
-(a1)² +12 a1 -20 = 0
Δ = 12² - 4*(-1)*(-20) = 144 - 80 = 64
√Δ = 8
a1 = [-12 - 8]/(-2) = -20 : (-2) = 10
lub
a1 = [ -12 + 8]/(-2) = -4 :(-2) = 2
Zatem dla a1 = 2 mamy r = 7 - 2 = 5
oraz a1 = 2, a2 = 2 +5 = 7, a3 = 2 + 10 = 12
a dla a1 = 10 mamy r = 7 - 10 = -3
oraz a1 = 10, a2 = 10 +(-3) = 7, a3 = 10 - 6 = 4
Odp. Tymi liczbami są:
2,7,12 lub 10,7,4