Question

Soal SBMPTN
Luas daerah di kuadran II yang dibatasi oleh sumbu y, garis y = -x, dan y = a dengan a > 2, serta terletak diatas parabola y = -x² + 2, adalah ...
A. [tex]\frac{1}{2} (a^2-1)+\int\limits^0_ {-1} \, (x^2-1)dx[/tex]
B. [tex]\frac{1}{2} (a^2-1)-\int\limits^0_ {-1} \, (x^2-1)dx[/tex]
C. [tex]\frac{1}{2} (a-1)^2+\int\limits^0_ {-1} \, (x^2-1)dx[/tex]
D. [tex]\frac{1}{2} (a^2-1)+\int\limits^0_ {-\sqrt{2} } \, (x^2-1)dx[/tex]
E. [tex]\frac{1}{2} (a^2-1)-\int\limits^0_ {-\sqrt{2} } \, (x^2-1)dx[/tex]

Answer 1

Luas daerah di kuadran II yang dibatasi oleh sumbu y, garis y = -x, dan y = a dengan a > 2, serta terletak diatas parabola y = -x² + 2, adalah:

(opsi A)
 

Pembahasan

Menghitung Luas Daerah dengan Integral

Persoalan

Luas daerah di kuadran II yang dibatasi oleh sumbu y, garis y = -x, dan y = a dengan a > 2, serta terletak diatas parabola y = -x² + 2, adalah ...

Penyelesaian

Daerah pada kuadran II adalah daerah pada sistem koordinat Cartesius di mana x negatif dan y positif. Oleh karena itu, batas atas untuk integral luas daerah yang ditanyakan adalah atau sumbu-x.

Kita perhatikan parabola .

• Koefisien sama dengan 0, artinya sumbu simetri parabola ini adalah .
• Koefisien negatif, maka parabola membuka ke bawah.
• Titik puncak parabola terletak pada sumbu simetri , yaitu .
• Garis tidak akan bersinggungan atau memotong parabola , karena .

Kita evaluasi batas-batas integralnya.

Absis titik potong garis dan garis adalah .

Absis titik potong parabola dan garis yang berada pada kuadran II ( negatif) adalah:

( bukan absis yang dimaksud)

Ada beberapa cara untuk mencari luas daerah yang ditanyakan. Salah satunya adalah dengan selisih luas 2 daerah, yaitu luas daerah yang dibatasi oleh dan pada interval , kita sebut sebagai , dikurangi luas daerah yang dibatasi oleh parabola dan garis pada interval , kita sebut sebagai .

Maka, luas daerah yang kita cari, dengan penyelesaian yang memperhatikan opsi jawaban yang tersedia, dapat dinyatakan oleh: