Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a, b prawdziwa jest nierówność [tex]a^{a-b.... Question from @Mlakowa

Mlakowa @Mlakowa

April 2022 2 21 Report

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a, b prawdziwa
jest nierówność [tex]a^{a-b}\geq b^{a-b}[/tex]

malamanda1

Odpowiedź:

$a>0 \\b>0\\a^{a-b} \geq b^{a-b} \\a^{a-b} -b^{a-b} \geq 0 / \sqrt[a-b]{} \\ a-b\geq 0$

1 votes Thanks 0

Louie314

Rozwiązanie:

Założenia:

$a,b \in \mathbb{R}_{+}$

Teza:

$a^{a-b}\geq b^{a-b}$

Rozważmy przypadki:

$1^{\circ}$ $a\geq b$

Wówczas mamy:

$a^{a-b}-b^{a-b}\geq 0\\a^{a-b}(1-\frac{b^{a-b}}{a^{a-b}} )\geq 0\\1-\frac{b^{a-b}}{a^{a-b}} \geq 0\\(\frac{b}{a})^{a-b} \leq 1 \iff \frac{b}{a}\leq 1 \iff a\geq b$

Zatem nierówność jest prawdziwa.

$2^{\circ}$ $a\leq b$

$a^{a-b}-b^{a-b}\geq 0\\a^{a-b}(1-\frac{b^{a-b}}{a^{a-b}} )\geq 0\\1-\frac{b^{a-b}}{a^{a-b}} \geq 0\\(\frac{b}{a})^{a-b}\leq 1 \iff (\frac{a}{b})^{b-a} \leq 1 \iff \frac{a}{b}\leq 1 \iff a\leq b$

Przy czym ostatnia przedostatnia równoważność wynika ze wzoru:

$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$

Też otrzymujemy prawdę.

To dowodzi, że nierówność jest prawdziwa dla $a,b \in \mathbb{R}_{+}$ .

2 votes Thanks 1

About Us

Life Enjoy

" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social