Question

Zadanie 3. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji:
[tex]f(x) = x^{2}-6x+1[/tex]
W przedziale [0,4] oraz w przedziale [-2,0]

Answer 1

Aby wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale należy sprawdzić, czy wierzchołek funkcji znajduje się w zadanym przedziale.

[tex]f(x)=x^2-6x+1[/tex]

[tex]p=\dfrac{6}2=3[/tex]

1. Sprawdzamy dla przedziału [0; 4]
   Wierzchołek funkcji znajduje się w tym przedziale. Funkcja ma ramiona skierowane w górę, więc najmniejszą wartością funkcji w tym przedziale będzie współrzędna y wierzchołka paraboli. [tex]f_{min}=q=\dfrac{-((-6)^2-4*1*1)}{4}=\dfrac{-(36-4)}4=\dfrac{-32}4=-8[/tex]
   Wartością największą w tym przedziale będzie przyjmował argument najdalej odsunięty od współrzędnej x wierzchołka funkcji.
   Sprawdzamy odległość punktu 0 od wierzchołka.
   [tex]|0-3|=3[/tex]
   Sprawdzamy odległość punktu 4 od wierzchołka.
   [tex]|4-3|=1[/tex]  
   [tex]3 > 1[/tex]  
   [tex]f_{max}=f(0)=1[/tex]
   Odp. W przedziale [0, 4], wartością największą funkcji jest 1 a najmniejszą: -8.
2. Sprawdzamy dla przedziału [-2, 0]
   Wierzchołek paraboli nie zawiera się w tym przedziale. Wartość najmniejszą będzie przyjmował argument najbliżej wierzchołka a największą - najdalej od wierzchołka.
   [tex]f_{min}=f(0)=1\\f_{max}=f(-2)=(-2)^2-6*(-2)+1=4+12+1=17[/tex]
   Odp. W przedziale [-2, 0], wartością największą funkcji jest 17 a najmniejszą: 1