Question

Zadanie 4. Oblicz

[tex]a) \ \sum_{i = 0}^{3} \ 2i\\\\b) \ \sum_{i = -2}^{1} \ 2^{-i}\\\\c) \ \sum_{i=1}^{102} \ (2i+1) - \sum_{i=2}^{100} \ (2i+1)\\\\d) \ \sum_{i=0}^{4} \ 1\\\\e) \ \prod_{i = 1}^{5} \ i\\\\f) \ \prod_{i = 2}^{100 \ \frac{i}{i+1}[/tex]

Answer 1

Symbol [tex]\Sigma[/tex] oznacza dodawanie, a symbol [tex]\Pi[/tex] oznacza mnożenie. Składnikami dodawania lub czynnikami mnożenia są wyrażenia występujące po tych symbolach, przy czym za zmienną, np. i, należy podstawić kolejną liczbę całkowitą z zakresu występującego przy tych symbolach.

Przykład

[tex]\Sigma^6_{i=2}i^2=2^2+3^2+4^2+5^2+6^2[/tex]

Zakresem są tu liczby całkowite od 2 do 6, a wyrażeniem, do które je podstawiamy jest [tex]i^2[/tex].

a)

Zakres to liczby całkowite od 0 do 3, a podstawiamy je do wyrażenia [tex]2i[/tex].

[tex]\Sigma^3_{i=0}2i=2*0+2*1+2*2+2*3=0+2+4+6=12[/tex]

b)

Zakres to liczby całkowite od -2 do 1, a podstawiamy je do wyrażenia [tex]2^{-i}[/tex].

[tex]\Sigma^1_{i=-2}2^{-i}=2^{-(-2)}+2^{-(-1)}+2^{-0}+2^{-1}=2^{2}+2^{1}+2^{0}+2^{-1}=4+2+1+\frac{1}{2}=\\=7\frac{1}{2}[/tex]

c)

W tym przykładzie zauważmy, że zakresem dla pierwszej sumy są liczby całkowite od 1 do 102, zaś zakresem dla drugiej sumy są liczby całkowite od 2 do 100. Wyrażenia są identyczne dla obu sum. Zapiszemy zatem pierwszą sumę jako sumę:

- wartości wyrażenia dla [tex]i=1[/tex],

- sumy [tex]\Sigma^{100}_{i=2}(2i+1)[/tex], czyli z zakresem od 2 do 100,

- wartości wyrażenia dla [tex]i=101[/tex],

- wartości wyrażenia dla [tex]i=102[/tex].

W ten sposób będzie można zredukować obie sumy [tex]\Sigma^{100}_{i=2}(2i+1)[/tex] do zera i pozostanie tylko suma z trzema składnikami.

[tex]\Sigma^{102}_{i=1}(2i+1)-\Sigma^{100}_{i=2}(2i+1)=\\=(2*1+1)+\Sigma^{100}_{i=2}(2i+1)+(2*101+1)+(2*102+1)-\Sigma^{100}_{i=2}(2i+1)=\\=3+203+205=411[/tex]

d)

Zakres to liczby całkowite od 0 do 4. Jest ich 5 (0, 1, 2, 3, 4). Zatem należy pięciokrotnie zsumować liczbę 1.

[tex]\Sigma^4_{i=0}1=1+1+1+1+1=5[/tex]

e)

Zakres to liczby całkowite od 1 do 5, a podstawiamy je do wyrażenia [tex]i[/tex].

[tex]\Pi^5_{i=1}i=1*2*3*4*5=120[/tex]

f)

Zakres to liczby całkowite od 2 do 100, a podstawiamy je do wyrażenia [tex]\frac{i}{i+1}[/tex]. Zauważmy, że mianownik pierwszego ułamka skraca się z licznikiem drugiego ułamka, mianownik drugiego ułamka skraca się z licznikiem trzeciego ułamka itd. Po skróceniu pozostaje nam w liczniku 2, a w mianowniku 101.

[tex]\Pi^{100}_{i=2}\frac{i}{i+1}=\frac{2}{3}*\frac{3}{4}*\frac{4}{5}*...*\frac{98}{99}*\frac{99}{100}*\frac{100}{101}=\frac{2}{101}[/tex]