Question

Wyznacz zbiory rozwiązań następujących nierówności
[tex]a) \ x^{2}-9 \geq 0\\\\b) \ x^{2}-5x \geq -6\\\\c) \ \frac{1}{x-2} \geq x\\\\d) \ \frac{x+1}{x-1} \geq 2[/tex]

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

a.

[tex]x^2-9\geq 0\\(x-3)(x+3)\geq 0[/tex]

[tex]x_1=3[/tex]                [tex]x_2=-3[/tex]

a>0 i y≥0

  +       \             /   +

-----------\--------/------------->

       -3     \     / 3

                  \/

więc rozwiązaniem jest x∈(-∞, -3>∪<3, +∞)

b.

[tex]x^2-5x\geq -6\\x^2-5x+6\geq 0[/tex]

Δ=25-4*1*6=1,  √Δ=1

[tex]x_1=\frac{5-1}{2} =2[/tex]            [tex]x_2=\frac{5+1}{2} =3[/tex]

a> i y≥ 0

 +       \              /   +

-----------\--------/------------->

       2     \      / 3

                  \/

więc rozwiązaniem jest x∈(-∞, 2>∪<3, +∞)

c.

[tex]\frac{1}{x-2} \geq x[/tex]

D: x-2≠0

    x≠2

      D=R\{2}

[tex]\frac{1}{x-2} -x\geq 0\\\frac{1}{x-2} -\frac{x(x-2)}{x-2} \geq 0\\\frac{1-x^2+2x}{x-2} \geq 0\\(-x^2+2x+1)(x-2)\geq 0[/tex]

Δ=4-4*(-1)*1=8,    √Δ=2√2

[tex]x_1=\frac{-2-2\sqrt{2} }{-2} =1+\sqrt{2}[/tex]             [tex]x_2=\frac{-2+2\sqrt{2} }{-2} =1-\sqrt{2}[/tex]

a<0 i y≥0

                           /\

                         /  + \

           ----------/----°----\------------->

     [tex]1-\sqrt{2}[/tex]    /        2      \  [tex]1+\sqrt{2}[/tex]

więc rozwiązaniem jest x∈[tex]< 1-\sqrt{2} , 2)[/tex]∪[tex](2, 1+\sqrt{2} >[/tex]

d.

[tex]\frac{x+1}{x-1} \geq 2[/tex]

D: x-1≠0

    x≠1

      D=R\{1}

[tex]\frac{x+1}{x-1} -2\geq 0\\\frac{x+1}{x-1} -\frac{2(x-1)}{x-1} \geq 0\\\frac{(x+1)-2(x-1)}{x-1} \geq 0\\(x+1-2x+2)(x-1)\geq 0\\(3-x)(x-1)\geq 0\\[/tex]

[tex]x_1=3[/tex]               [tex]x_2=1[/tex] ∉ D

a<0 i y≥0

                 /\

               /  + \

-----------/--------\------------->

     1    /              \  3

więc rozwiązaniem jest x∈(1, 3>