Tentukan nilai limit berikut. a. b.... Question from @97agus

naufik Untuk kedua soal, gunakan limit trigonometri:
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{ax} = \lim_{x\to 0}\frac{\tan(ax)}{ax} = 1$

Soal a:
Pertama, faktorkan terlebih dahulu sin(3x) pada pembilang:
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)-\cos(2x)\sin(3x)}{6x^3} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin(3x)}{6x^3}(1-\cos(2x))$

$\displaystyle = \lim_{x \to 0}\frac{1}{2} \times \frac{\sin(3x)}{3x^3}(1-\cos(2x))$

Berdasarkan properti limit bahwa $\lim_{x \to a}[f(x) \times g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) \times \lim_{x \to a}g(x)$ , ekspresi diatas bisa ditulis sebagai:

$\displaystyle = \lim_{x \to 0}\frac{1}{2} \times \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x^3} \times \lim_{x \to 0}(1-\cos(2x))$

Dengan menggunakan identitas limit trigonometri yang ditulis di paling atas,kita tahu bahwa:
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x^3} = 1$

Untuk limit cos, dan 1/2, tinggal substitusikan saja nilai 0 pada x,
maka:
$\displaystyle = \overbrace{\lim_{x \to 0}\frac{1}{2}}^{1/2} \times \overbrace{\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x^3}}^{1} \times \overbrace{\lim_{x \to 0}(1-\cos(2x))}^{(1-1)}$

$\displaystyle \frac{1}{2} \times 1 \times (1-1) = \frac{1}{2} \times 1 \times 0 = \boxed{0}$

Jadi
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)-\cos(2x)\sin(3x)}{6x^3} = 0$

Soal b:
Karena limit trigonometri hanya terdefinisikan untuk $x \to 0$ , maka kita harus cari cara membuat limitnya jadi limit menuju 0.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{x-a}{(2x-2a)+\tan(2x-2a)}$

Saat x begitu dekat dengan a [ $x \to a$ ], maka kita dapat mengasumsikan x = a sehingga x - a = 0. Untuk membuat ekspresi diatas berdasarkan (x-a), kita dapat mengubahnya menjadi:

$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{x-a}{2(x-a)+\tan(2(x-a))}$

Untuk mempermudah kita bisa menggunakan variabel baru (saya akan gunakan 't') untuk menyimbolkan (x-a) dan membuat limit menjadi menuju 0, jadi kita asumsikan ada variabel baru t, dimana $t = x-a$

Limit tadi bisa ditulis sebagai:
$\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{t}{2t+\tan(2t)}$

Dari sini sebenarnya ada 2 cara, menggunakan teori L'Hospital ataupun dengan menggunakan manipulasi aljabar. Namun demi aman saya asumsikan anda belum belajar turunan sehingga saya akan gunakan manipulasi aljabar.

Pada ekspresi tadi, bagi pembilang dan penyebut dengan t sehingga ekspresi tadi menjadi:

$\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{\frac{t}{t}}{\frac{2t}{t}+\frac{\tan(2t)}{t}} = \lim_{t \to 0}\frac{1}{2 + \frac{\tan(2t)}{t}} = \lim_{t \to 0}\frac{1}{2 + \frac{2 \tan(2t)}{2t}}$

Bisa dilihat ekspresi $\frac{\tan(2t)}{2t} = 1$ , (sesuai definisi limit trigonometri diatas), maka ekspresi limitnya menjadi:
$
\displaystyle = \lim_{t \to 0}\frac{1}{2 + 2 \times 1} = \boxed{\frac{1}{4}}$

Jadi jawaban dari limit soal b:
$\displaystyle = \lim_{x \to a}\frac{x-a}{(2x-2a)+\tan(2x-2a)} = {\frac{1}{4}}$

Maaf bila membingungkan, topik limit memang sulit untuk dijelaskan cara pengerjaannya.

2 votes Thanks 1

97agus terima kasih udah menjawab ..

Mohon bantuanya mastah !!! No 4 dan 5

Mohon bantuannya :)))

Mohon bantuannya yg bisa matematika

Mohon bantuanya mastah :)

Mohon bantuanya para master :)

Buatkan Puisi Tentang Ayah. Jangan Copas dari internet!! Minimal 8 Baris!!

Buatakan Puisi Tentang ayah. Jangan Copas di internet!!

Sebuah benda ditembakkan Vertikal ke atas. jika persamaan gerak dari benda dinyatakan s=f(t) = -5t²+40t maka kecepatan sesaat dari benda itu dalam waktu tepat detik dinyatakan oleh hitunglah kecepatan sesaat dari benda itu dalam waktu tepat 2 detik.

Tolong bantuanya dong..

Diketahui dan . nilai

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social