Question

hej ;) zadawałam już dzisiaj to pytanie, ale nie chodziło mi o to, co pisaliście w odpowiedziach, spróbuję jaśniej napisać o co mi chodzi ;))

zadanie:

Udowodnij, że liczba 10^8 - 1 jest podzielna przez 9.

wiem, że będzie podzielna, bo wyjdzie 99999999, więc suma cyfr tej liczby na pewno będzie podzielna przez 9 (9+9+9+9+9+9+9+9=72; 72:9=8).

Rozumiem o co chodzi, tylko nie wiem, jak to zapisać w postaci dowodu matematycznego i chciałabym prosić osobę z liceum/technikum o pomoc, będę bardzo wdzięczna, zapiszę tyle, ile potrafiłam zrobić, jeśli to się rozwiązuje jakoś inaczej to mnie oświećcie ;))

z góry dzięki ;)

Założenia: k ∈ C

Teza: 10^8 - 1 = 9k

Dowód:

L = 10^8 - 1 = ??? i tu właśnie utknęłam ;)

Answer 1

Prościutkie, w zasadzie myślę, że wiesz, jak zapisać ten dowód, potrzebna tylko mała wskazówka: wystarczy skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów (wzory skróconego mnożenia): a^2-b^2=(a+b)*(a-b)

Ponieważ 1=1^8=1^4=1^2, kolejno możemy rozkładać:

 

10^8-1=

=10^8-1^8=(10^4)^2-(1^4)^2=

=(10^4+1)*(10^4-1)= rozkładamy analogiczne 2. nawias:

=(10^4+1)*(10^2+1)*(10^2-1) = i trzeci:

=(10^4+1)*(10^2+1)*(10^1-1)(10^1+1)= po "przestawieniu"

9*11*(10^2+1)*(10^4+1)

Ponieważ potęgowanie, dodawanie, odejmowanie i mnożenie 2 liczb całkowitych daje liczbę całkowitą, 11*(10^2+1)*(10^4+1) jest liczbą całkowitą,

a więc 9*11*(10^2+1)*(10^4+1) jest podzielne przez 9.

Answer 2

Wygodni będzie tu skorzystać z indukcji matematycznej:

1. Sprawdzamy, czy teza spełniona jest dla n=1

(spełnione)

2. Zakładając, że teza jest spełniona dla dowolnego:

  (m ∈ C) implikujemy, że będzie spełniona również dla k+1:

liczba podzielna przez 9

 

Ponieważ teza spełniona jest dla n=1 oraz przy założeniu, że jest spełniona dla dowolnego k udowodniliśmy, że jest również spełniona dla k+1, Teza jest prawdziwa dla dowolnego n>=1.