Tatuś w drodzę do domu kupił ciasteczka swoim córkom.Pierwszej córce dał 1 ciasteczko i ósmą część p.... Question from @Cori21

November 2018 1 48 Report

Tatuś w drodzę do domu kupił ciasteczka swoim córkom.

Pierwszej córce dał 1 ciasteczko i ósmą część pozostałych.

Drugiej córce dał 2 ciasteczka i ósmą część pozostałych.

Trzeciej córce dał 3 ciasteczka i ósmą część pozostałych.
Tatuś rozdawał w ten sposób ciasteczka aż do ostatniej córki i zużył wszystkie ciasteczka. Okazało się że każda z córek otrzymała tyle samo ciasteczek. Ile ciasteczek kupił tatuś? Ile ciasteczek dostała każda z córek?

ostatniabitwa

Ile ciasteczek otrzymała ostatnia córka

Zauważmy, że córek musi być tyle samo co ciasteczek. Jeśli córek było i ponumerujemy córki od 1 do to mamy:

Córka nr 1 otrzymała 1 ciasteczko i ósmą część pozostałych ciasteczek Córka nr 2 otrzymała 2 ciasteczka i ósmą część pozostałych ciasteczek Córka nr 3 otrzymała 3 ciasteczka i ósmą część pozostałych ciasteczek . . . Córka nr n otrzymała n ciasteczek i ósmą część pozostałych ciasteczek

Ostatnia córka numer n otrzymała n ciasteczek i ósmą część pozostałych ciasteczek. Ale pozostałych ciasteczek musi być 0, gdyż inaczej pozostałoby jeszcze $\frac{7}{8}$ ciasteczek. Jest to niemożliwe gdyż tatuś rozdał wszystkie ciasteczka. Zatem ostatnia córka otrzymała ciasteczek.

Każda córka otrzymała n ciasteczek

Ponieważ ostatnia córka - o numerze - otrzyma ciasteczek więc każda z córek otrzynała ciasteczek (wszystkie otrzymały tyle samo ciasteczek). Zatem każda z córek otrzymała tyle ciasteczek ile jest córek.

Ile ciasteczek otrzymała każda z córek?

Mamy córek i każda otrzymała ciasteczek. Zatem wszystkich ciasteczek jest . Jednocześnie pierwsza córka otrzymała 1 ciasteczko i ósmą część pozostałych, czyli pierwsza córka otrzymała $1+\frac{1}{8}(n^2-1)$ . Zatem liczba $n^2-1$ musi się dzielić przez 8. Możliwe liczby córek () to:

liczba córek równa 3 (n=3); wówczas liczba ciasteczek wynosi 9 (tex]=n^2=9[/tex); pierwsza córka otrzymałaby 2 ciasteczka - $1+\frac{1}{8}(n^2-1)=1+\frac{1}{8}(3^2-1)=1+\frac{1}{8}\cdot 8=2$ - otrzymujemy sprzeczność gdyż pierwsza córka powinna otrzymać 3 ciasteczka - tyle ile jest córek liczba córek równa 5 (n=5); wówczas liczba ciasteczek wynosi 25 ( $=n^2=25$ ); pierwsza córka otrzymałaby 4 ciasteczka - $1+\frac{1}{8}(n^2-1)=1+\frac{1}{8}(5^2-1)=1+\frac{1}{8}\cdot 24=4$ - otrzymujemy sprzeczność gdyż pierwsza córka powinna otrzymać 5 ciasteczek - tyle ile jest córek liczba córek równa 7 (n=7); wówczas liczba ciasteczek wynosi 49 (tex]=n^2=49[/tex); pierwsza córka otrzymałaby 7 ciasteczek - - zgadza się - liczba córek jest 7 i pierwsza córka otrzymuje 7 cisasteczek; podobnie jeźli policzymy ilość ciasteczek drugiej córki okaże się, że otrzymałaby 7 ciasteczek ( $2+\frac{1}{8}(49-7-2)=2+\frac{1}{8}\cdot40=2+5=7$ ); tak samo będzie dla kolejnych córek - aż do ostatniej o numerze 7 - każda otrzymała tyle samo - 7 ciasteczek (tyle ile jest córek)