Question

1. Wielomiany x^2 +px +q i x^2 + qx +p mają jeden wspólny pierwiastek i p nie równa się q. Przy tych założeniach p+q równa się? 2. Poniższe równania przedstawiają cztery proste równoległe i jedną, która nie jest do nich równoległą. Która to? a) x-2y=0 b) y= 2x+7 c) -3x + 6y + 2 = 0 d) 5x = 5+ 10y e) 3y= 1.5x - 4 3. Popularny format papieru, np. A4 jest prostokątem, w którym stosunek v= długość/szerokość jest tak wybrany, że zginając kartkę na dwoje przez środek długości otrzymujemy nowy prostokąt w tym samym stosunku v= długość przez szerokość. Stosunek ten spełnia warunek: a) v=4; b) v^2=4 c) v^3= 4 d) v^4 = 4 e) v= 0,5(1+pierwiastek z 5) Daje naj!

Answer 1

1.

W(x) = x² + px + q

Q(x) = x² + qx + p

p ≠ q ⇒ p - q ≠ 0

a - pierwiastek wielomianów W(x) i Q(x)

 

Def. Pierwiastek wielomianu to taka liczba, dla której wartość wielomianu wynosi zero.

 

W(a) = a² + ap + q

W(a) = 0

a² + ap + q = 0

Q(a) = a² + aq + p

Q(a) = 0

a² + aq + p = 0

Stąd:

a² + ap + q = a² + aq + p

a² + ap + q - a² - aq - p = 0

ap - aq - p + q = 0

a·(p - q) - 1·(p - q) = 0

(p - q)(a - 1) = 0 /: (p-q)

Możemy podzielić przez (p-q), bo zgodnie z założeniem p-q ≠ 0

a - 1 = 0

a = 1

Zatem:

a² + ap + q = 0

1² + 1p + q = 0

1 + p + q = 0

p + q = - 1

a² + aq + p = 0

1² + 1·q + p = 0

1 + q + p = 0

p + q = - 1

 

Odp. p + q = - 1

 

2.

Proste o równaniu kierunkowym y = ax + b są równoległe, jeśli ich współczynniki kierunkowe (a) są równe.

 

a) x - 2y = 0

-2y = -x /:(-2)

y = ½x, czyli a = ½

 

b) y = 2x + 7, czyli a  = 2

 

c) -3x + 6y + 2 = 0

6y = 3x - 2 /:6

y = ½x - ⅓, a = ½

 

d) 5x = 5 + 10y

- 10y = -5x + 5 /:(-10)

y = ½x - ½, a = ½

 

e) 3y = 1,5x - 4 /:3

y = 0,5x - 1⅓; a = 0,5 = ½

 

Odp. Prosta nierównoległa do pozostałych to prosta y = 2x + 7 (odp. b)

 

3.

d - długość

s - szerokość

 

 

Odp. d